忆枫の博客

写在前面

Thu, 29 Jan 2026 00:00:00 GMT

为何写这份博客#

长久以来呢，一直想有这样一个地方：

我能够完全掌控，来记录自己的所思、所感、所想、所学。

过去将这些记在各种设备的备忘录或者笔记里，然而随着内容的增多，弊端渐显：

在不同的设备之上，迁移管理很麻烦
有时忘记携带设备，访问会很麻烦
不支持Markdown语法，写起来不是很舒服

除此之外，由于经常要在网上查资料，了解到了博客（Blog） 这种网络日志，这种方式解决了我之前遇到的一些痛点，它还允许任何人访问你的博客（虽然个人小博客基本上没什么人）。再加之投之以桃，报之以李，这是共享共建的互联网精神（倘若有一天，我的文章也能帮助一些人解决问题，那真是无比高兴的一件事了），因此呢，搭建博客的愿望越来越强烈，最终有了这份展现在您眼前的博客。

写什么#

在这里呢，会写一些正在学习或者已经学习过后的心得，将自己在学习过程中的一些疑问从头至尾地捋一遍，汇总在一起，构成这是什么、为什么要怎么做、如何优化的结构，力图将这脉络解释清楚。除此之外呢，也会分享一些个人的感悟以及碎碎念，无处可说，那就写在这里吧。

致谢#

本博客的封面图片来自以下网站（排名不分先后）：

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线性代数知识点串联

Thu, 20 Aug 2026 00:00:00 GMT

行列式#

定义#

n 阶行列式是有 n2n^2n2 个元素 aija_{ij}aij 所决定的一个数.

性质#

转置不变性: 行列式中行列互换(转置)，其值不变.
行列式中两行(列)对换，其值变号.
行列式中某 行(列) 元素有公因子 k，可将公因子 k 提到行列式外.
行列式中，如果有一行(列)的两个元素都是两个数之和，那么该行列式可以拆成两个行列式的和.
行列式的倍加: 在行列式中，把某行(列)各元素分别乘任意常数 kkk，再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变.

Important

∣A∣\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}A + ∣B∣\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}B 一般来说不等于 ∣A+B∣\begin{vmatrix}A + B\end{vmatrix}A+B
∣AB∣\begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}AB = ∣A∣∣B∣\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}AB

计算#

n 阶行列式 DDD 等于它的任意一行的元素与其对应代数余子式乘积之和。

D=∑k=1naikAikD=∑k=1nakiAkiD = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik}A_{ik} \\ D = \sum_{k = 1}^{n}a_{ki}A_{ki}D=k=1∑naikAikD=k=1∑nakiAki

Note

仅 三阶及以下 的行列式适用对角线法则.
若一行(列)元素为 0, 则行列式的值为 0.
行列式的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为 0

注意：行列式是以行（列）为单位，而矩阵是以整体，即提公因子 k 时需要整体包含

常见行列式计算#

主对角行列式：

∣a11a22⋱ann∣=a11a22⋯ann\begin{vmatrix} a_{11} & & \\ & a_{22} & \\ & & \ddots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}a11a22⋱ann=a11a22⋯ann

主对角线上（下）三角行列式：

∣a11a12⋯a1na22⋯a2n⋱⋮ann∣=∣a11a21a22⋮⋮⋱an1an2⋯ann∣=a11a22⋯ann\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}a11a12a22⋯⋯⋱a1na2n⋮ann=a11a21⋮an1a22⋮an2⋱⋯ann=a11a22⋯ann

副对角行列式：（此公式易错）

∣a1na2,n−1⋱an1∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an1\begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2, n-1} & \\ & \ddots & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2, n-1}\cdots a_{n1}an1⋱a2,n−1a1n=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an1

副对角线上（下）三角行列式：（此公式易错）

∣a11⋯⋯a1na21⋯a2,n−1⋮⋱an1∣=∣a1na2,n−1a2n⋱⋮⋮an1⋯an,n−1ann∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an1\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} & \\ \vdots & \ddots & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2, n-1} & a_{2n} \\ & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2, n-1}\cdots a_{n1}a11a21⋮an1⋯⋯⋱⋯a2,n−1a1n=an1⋱⋯a2,n−1⋮an,n−1a1na2n⋮ann=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an1

nnn 阶范德蒙德 (Vandermonde) 行列式：

Dn=∣111⋯1x1x2x3⋯xnx12x22x32⋯xn2⋮⋮⋮⋮x1n−1x2n−1x3n−1⋯xnn−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi)D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\le i < j\le n} \left(x_j - x_i\right)Dn=1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−11x3x32⋮x3n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1=1≤i<j≤n∏(xj−xi)

常用计算技巧#

行和 / 列和相等：若各行（列）元素和相同，可把各列（行）都加到某一列（行），提出公因子后出现大量 0，常能简化。
爪形 / 三对角行列式：通常用“斜爪消平爪”或递推法，将某一行（列）倍加到其他行（列），化为三角行列式。
递推法：对 nnn 阶行列式按第一行（列）展开，寻找 DnD_nDn 与 Dn−1,Dn−2D_{n-1},D_{n-2}Dn−1,Dn−2 的关系。
加边法：不改变行列式值的常用恒等变形是
Dn=∣11⋯10⋮An0∣,D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & & & \\ \vdots & & A_n & \\ 0 & & & \end{vmatrix},Dn=10⋮01⋯An1,
即“加一行一列且不改变行列式值”，加边后再通过行变换消元，常用于“除对角线外元素相同”的行列式。
范德蒙德识别：若行列式的第 iii 行（列）呈现 1,xi,xi2,⋯1,x_i,x_i^2,\cdots1,xi,xi2,⋯ 的形式，可直接套公式；不是标准形式时可通过提取公因子、换行换列化为标准形式。

Tip

计算前先观察：有没有零元素多的行/列、有没有行和相等、能不能拆项。盲目展开往往计算量最大。

矩阵#

定义#

由 m×nm\times nm×n 个数 aij(i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n)a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)aij(i=1,2,⋯,m; j=1,2,⋯,n) 排成的 mmm 行 nnn 列的矩形表格

[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn

称为一个 m×nm\times nm×n 矩阵，简记为 AAA 或 (aij)m×n(i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n)(a_{ij})_{m\times n}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)(aij)m×n(i=1,2,⋯,m; j=1,2,⋯,n)。当 m=nm=nm=n 时，称 AAA 为 nnn 阶方阵。

运算#

相等: A=(aij)m×n=B=(bij)s×k ⟺ m=s, n=kA=(a_{ij})_{m\times n}=B=(b_{ij})_{s\times k} \iff m=s,\ n=kA=(aij)m×n=B=(bij)s×k⟺m=s, n=k，且 aij=bij(i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n)a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)aij=bij(i=1,2,⋯,m; j=1,2,⋯,n)，即 A,BA,BA,B 是同型矩阵，且对应元素相等。(a11=b11, a12=b12,⋯ )(a_{11}=b_{11},\ a_{12}=b_{12},\cdots)(a11=b11, a12=b12,⋯)
加法: 两个矩阵是同型矩阵时，可以相加，即

C=A+B=(aij)m×n+(bij)m×n=(cij)m×n,C = A+B =(a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=(c_{ij})_{m\times n},C=A+B=(aij)m×n+(bij)m×n=(cij)m×n,

其中，cij=aij+bij(i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n)c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)cij=aij+bij(i=1,2,⋯,m; j=1,2,⋯,n)，即对应元素相加。

数乘矩阵: 设 kkk 是一个数，AAA 是一个 m×nm\times nm×n 矩阵。数 kkk 和 AAA 的乘积称为数乘矩阵，即

kA=Ak=k[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]=[ka11ka12⋯ka1nka21ka22⋯ka2n⋮⋮⋮kam1kam2⋯kamn]=(kaij)m×n,kA = Ak = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} =(ka_{ij})_{m\times n},kA=Ak=ka11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn=ka11ka21⋮kam1ka12ka22⋮kam2⋯⋯⋯ka1nka2n⋮kamn=(kaij)m×n,

即 AAA 的每个元素都乘以 kkk。

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算，满足下列运算规律：

① 交换律 A+B=B+AA+B=B+AA+B=B+A；

② 结合律 (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)；

③ 分配律 k(A+B)=kA+kB, (k+l)A=kA+lAk(A+B)=kA+kB,\ (k+l)A=kA+lAk(A+B)=kA+kB, (k+l)A=kA+lA；

④ 数和矩阵相乘的结合律 k(lA)=(kl)A=l(kA)k(lA)=(kl)A=l(kA)k(lA)=(kl)A=l(kA)。

矩阵的乘法: 设 AAA 是 m×sm\times sm×s 矩阵，BBB 是 s×ns\times ns×n 矩阵（矩阵 AAA 的列数必须与矩阵 BBB 的行数相等），则 A,BA,BA,B 可以相乘，乘积 ABABAB 是 m×nm\times nm×n 矩阵，记 C=AB=(cij)m×nC=AB=(c_{ij})_{m\times n}C=AB=(cij)m×n。CCC 的第 iii 行第 jjj 列元素 cijc_{ij}cij 是 AAA 的第 iii 行的 sss 个元素与 BBB 的第 jjj 列的 sss 个对应元素两两乘积之和，即

cij=∑k=1saikbkj(i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n).c_{ij}=\sum_{k = 1}^{s}a_{ik}b_{kj}\quad(i = 1,2,\cdots, m;\ j = 1,2,\cdots, n).cij=k=1∑saikbkj(i=1,2,⋯,m; j=1,2,⋯,n).

矩阵乘法运算规律：

① 数乘结合律：k(AB)=(kA)B=A(kB)\displaystyle k(AB)=(kA)B=A(kB)k(AB)=(kA)B=A(kB)，其中 kkk 是数。

② 结合律：(AB)C=A(BC)\displaystyle (AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)

③ 分配律：A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA\displaystyle A(B+C)=AB+AC,\quad (B+C)A=BA+CAA(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA

Warning

矩阵乘法

一般不满足交换律：(AB \boldsymbol{\ne} BA).
不能随意消去矩阵：(AB = AC \nRightarrow B = C).
由矩阵 AB=OAB=OAB=O 不能推出 A=OA=OA=O 或 B=OB=OB=O

转置矩阵及伴随矩阵#

转置矩阵运算律#

(AT)T=A\displaystyle \left(A^\mathrm{T}\right)^\mathrm{T} = A(AT)T=A
(kA)T=kAT\displaystyle (kA)^\mathrm{T} = kA^\mathrm{T}(kA)T=kAT（kkk 为任意常数）
(A+B)T=AT+BT\displaystyle (A+B)^\mathrm{T} = A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T}(A+B)T=AT+BT
(AB)T=BTAT\displaystyle (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}(AB)T=BTAT
(A1A2⋯Ak)T=AkT⋯A2TA1T\displaystyle \left(A_1A_2\cdots A_k\right)^\mathrm{T} = A_k^\mathrm{T}\cdots A_2^\mathrm{T}A_1^\mathrm{T}(A1A2⋯Ak)T=AkT⋯A2TA1T

反对称矩阵#

若 aij=−aji (i,j=1,2,…,n)a_{ij}=-a_{ji}\ (i,j=1,2,\dots,n)aij=−aji (i,j=1,2,…,n)，也即 A=−AT\boldsymbol{A=-A^\mathrm{T}}A=−AT，则称 A\boldsymbol{A}A 为反对称矩阵。

重要推论

反对称矩阵主对角线元素满足 aii=−aiia_{ii}=-a_{ii}aii=−aii，故 aii=0\boldsymbol{a_{ii}=0}aii=0，主对角线上元素全为 0.

对奇数阶反对称矩阵 A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij)n×n 来说，必有 ∣A∣=0|A|=0∣A∣=0。证明：∣A∣=∣AT∣=∣−A∣=(−1)n∣A∣=−∣A∣|A|=|A^\mathrm{T}|=|-A|=(-1)^n|A|=-|A|∣A∣=∣AT∣=∣−A∣=(−1)n∣A∣=−∣A∣，故 ∣A∣=0|A|=0∣A∣=0.

任意一个 n 阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.

伴随矩阵#

设 nnn 阶方阵

A=[a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann],A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix},A=a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann,

记行列式 ∣A∣|A|∣A∣ 中元素 aija_{ij}aij 的代数余子式为 AijA_{ij}Aij，则称

A∗=[A11A21…An1A12A22…An2⋮⋮⋮A1nA2n…Ann]A^*= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{bmatrix}A∗=A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n………An1An2⋮Ann

为矩阵 AAA 的 伴随矩阵。

Note

相关公式：

AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*= A^*A= \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}EAA∗=A∗A=AE
∣A∗∣=∣A∣n−1\begin{vmatrix}A^*\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} ^{n-1}A∗=An−1
(AB)∗=B∗A∗\begin{pmatrix}AB\end{pmatrix}^* = B^*A^*(AB)∗=B∗A∗
(AT)∗=(A∗)T(A^T)^* = (A^*)^T(AT)∗=(A∗)T

注意： 一般来说 (A+B）∗≠A∗+B∗(A+B）^* \ne A^* + B^*(A+B）∗=A∗+B∗, 但二阶及以下是一定成立的

逆矩阵#

对于 nnn 阶矩阵 AAA，如果存在 nnn 阶矩阵 BBB，使得 AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E，其中 EEE 是 nnn 阶单位矩阵，则称 AAA 是可逆的，并将 BBB 称为 AAA 的逆矩阵，记作 A−1A^{-1}A−1。

补充：

若 AAA 可逆, 则 AAA 的逆矩阵是唯一的
若 A,BA,BA,B 都是 n 阶矩阵, 且 AB=EAB=EAB=E, 则 BA=EBA=EBA=E, 即 A,BA, BA,B 皆可逆, 且 A,BA,BA,B 互为逆矩阵
AAA 可逆的 充要条件 是 ∣A∣≠0\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\ne 0A=0

性质及重要公式#

(1) (A−1)−1=A\boldsymbol{(A^{-1})^{-1} = A}(A−1)−1=A

(2) 若 k≠0k \neq 0k=0，则 (kA)−1=1kA−1\boldsymbol{(kA)^{-1} = \dfrac{1}{k}A^{-1}}(kA)−1=k1A−1

(3) AB\boldsymbol{AB}AB 也可逆，且 (AB)−1=B−1A−1\boldsymbol{(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}}(AB)−1=B−1A−1

(4) AT\boldsymbol{A^T}AT 也可逆，且 (AT)−1=(A−1)T\boldsymbol{(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T}(AT)−1=(A−1)T

(5) ∣A−1∣=∣A∣−1=1∣A∣\boldsymbol{|A^{-1}| = |A|^{-1} = \dfrac{1}{|A|}}∣A−1∣=∣A∣−1=∣A∣1

(6) A−1=1∣A∣A∗A^{-1}= \frac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}} A^*A−1=∣A∣1A∗

注意: 一般来说在实数域上 (A+B)−1≠A−1+B−1(A + B)^{-1} \ne A^{-1} + B^{-1}(A+B)−1=A−1+B−1

初等变换#

(1). 倍乘: 一个非零常数乘矩阵的某一行(列)

(2). 互换: 互换矩阵中两行(列)的位置

(3). 倍加: 将矩阵的某一行(列)的 K 倍加到另一行(列)

初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵.

Important

初等行变换不改变列向量组的线性相关性，同样的，初等列变换不改变行向量组的线性相关性。

性质及重要公式#

初等矩阵的转置仍是初等矩阵.
初等矩阵都是可逆矩阵, 其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵.
若 AAA 是可逆矩阵，则 AAA 可以表示成有限个初等矩阵的乘积.
设 AAA 是一个 m×nm \times nm×n 矩阵，对 AAA 施行一次 初等列变换，相当于在 AAA 的右边乘以相应的 nnn 阶初等矩阵；对 AAA 施行一次 初等行变换，相当于在 AAA 的左边乘以相应的 mmm 阶初等矩阵。
对任意一个 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA，总存在行最简形矩阵 UUU 和 mmm 阶初等矩阵 P1,P2,…,PsP_1,P_2,\dots,P_sP1,P2,…,Ps，使得

Ps⋯P2P1A=U.P_s \cdots P_2 P_1 A = U .Ps⋯P2P1A=U.

对任意 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA，必可找到 mmm 阶初等矩阵 P1,P2,…,PsP_1,P_2,\dots,P_sP1,P2,…,Ps 及 nnn 阶初等矩阵 Q1,Q2,…,QtQ_1,Q_2,\dots,Q_tQ1,Q2,…,Qt，使得

Ps⋯P2P1AQ1Q2⋯Qt=Em×n(r),P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = E_{m \times n}^{(r)},Ps⋯P2P1AQ1Q2⋯Qt=Em×n(r),

矩阵等价#

定义: 如果矩阵 AAA 经过有限次初等变换变成矩阵 BBB（通常默认 A,BA,BA,B 同型），就称矩阵 AAA 与矩阵 BBB 等价。记作 A≅BA \cong BA≅B

矩阵的秩#

设 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，若存在 kkk 阶子式不为零，而任意 k+1k+1k+1 阶子式（如果有的话）全为零，则 r(A)=kr(A)=kr(A)=k，且若 AAA 为 n×nn \times nn×n 矩阵，则

r(An×n)=n ⟺ ∣A∣≠0 ⟺ A可逆.r(A_{n \times n})= n \iff |A| \neq 0 \iff A\text{可逆}.r(An×n)=n⟺∣A∣=0⟺A可逆.

换言之，若矩阵 AAA 存在 kkk 个线性无关的行（列）向量，任意 k+1k+1k+1 个向量线性相关，则 r(A)=kr(A)=kr(A)=k。

重要式子:

设 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，BBB 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则

① 0≤r(A)≤min⁡{m,n}0 \le r(A) \le \min\{m,n\}0≤r(A)≤min{m,n}（由定义）；r(A)=0 ⟺ A=Or(A)=0 \iff A=Or(A)=0⟺A=O

② r(kA)=r(A) (k≠0)r(kA)=r(A)\ (k \neq 0)r(kA)=r(A) (k=0)（由定义）；

⋆\boldsymbol{\star}⋆ ③ r(AB)≤min⁡{r(A),r(B)}r(AB) \le \min\{r(A),r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}；

⋆\boldsymbol{\star}⋆ ④ r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B) \le r(A)+r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)；

⋆\boldsymbol{\star}⋆ ⑤

r(A∗)={n,r(A)=n,1,r(A)=n−1,0,r(A)<n−1,r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)= n,\\ 1, & r(A)= n-1,\\ 0, & r(A)< n-1, \end{cases}r(A∗)=⎩⎨⎧n,1,0,r(A)=n,r(A)=n−1,r(A)<n−1,

其中 AAA 为 n(n≥2)n(n\ge2)n(n≥2) 阶方阵.

⑥ 设 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，P,QP,QP,Q 分别是 mmm 阶、nnn 阶可逆矩阵，则

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(A)= r(PA)= r(AQ)= r(PAQ)r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⋆\boldsymbol{\star}⋆ ⑦ 若 Am×nBn×s=O\boldsymbol{A_{m \times n}B_{n \times s}=O}Am×nBn×s=O，则 r(A)+r(B)≤n\boldsymbol{r(A)+r(B) \le n}r(A)+r(B)≤n；

⋆\boldsymbol{\star}⋆ ⑧ r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)\boldsymbol{r(A)=r(A^\mathrm{T})=r(A^\mathrm{T}A)=r(AA^\mathrm{T})}r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)。

Tip

求秩/用秩解题要点

优先用初等行变换化行阶梯形，非零行数即秩；不要混用列变换（除非只求秩且注意对向量组意义）。
看到 AB=OAB=OAB=O 立即想 r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)\le nr(A)+r(B)≤n；看到 AAA 为 nnn 阶方阵且 A2=AA^2=AA2=A 或 A2=EA^2=EA2=E，可联想特征值只可能是 0/10/10/1 或 ±1\pm1±1 以及可对角化。
r(A)=n−1r(A)=n-1r(A)=n−1 时，A∗≠OA^*\ne OA∗=O 且 AA∗=OAA^*=OAA∗=O，故 A∗A^*A∗ 的每一列都是 Ax=0Ax=0Ax=0 的解，可用于反求 AAA 或 A∗A^*A∗。

线性方程组#

(i) 线性方程组 Ax=bAx=bAx=b 有解的充要条件 是增广矩阵 (A,b)(A,b)(A,b) 的最后一个非零行不是形如 (0,…,0,d), d≠0(0,\dots,0,d),\ d \neq 0(0,…,0,d), d=0。

(ii) 若线性方程组 Ax=bAx=bAx=b 有解，则方程组有 唯一解的充要条件 是 (A,b)(A,b)(A,b) 中非零行的行数与未知量的个数相同，都等于 nnn（nnn 指未知量个数，也即矩阵 AAA 的列数），此时没有自由变量。

(iii) 若线性方程组 Ax=bAx=bAx=b 有解，则方程组 有无穷多解的充要条件 是 (A,b)(A,b)(A,b) 中非零行的行数严格小于未知量的个数，即严格小于 nnn（nnn 指未知量个数，也即矩阵 AAA 的列数）。此时如果 (A,b)(A,b)(A,b) 中有 rrr 个非零行，则在方程组的通解中就含有 n−rn-rn−r 个自由变量。

补充等价秩表述（方便做题）：设 AAA 为 m×nm\times nm×n 矩阵，增广矩阵 A‾=(A,b)\overline{A}=(A,b)A=(A,b)

Ax=bAx=bAx=b 有解 ⟺ r(A)=r(A‾)\iff r(A)=r(\overline{A})⟺r(A)=r(A)
Ax=bAx=bAx=b 有唯一解 ⟺ r(A)=r(A‾)=n\iff r(A)=r(\overline{A})=n⟺r(A)=r(A)=n
Ax=bAx=bAx=b 有无穷多解 ⟺ r(A)=r(A‾)<n\iff r(A)=r(\overline{A})<n⟺r(A)=r(A)<n
Ax=bAx=bAx=b 无解 ⟺ r(A)<r(A‾)\iff r(A)<r(\overline{A})⟺r(A)<r(A)

向量#

线性运算的性质#

(1) 0α=00\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}0α=0

(2) (k+l)α=kα+lα(k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}(k+l)α=kα+lα

(3) k(lα)=(kl)αk(l\boldsymbol{\alpha})=(kl)\boldsymbol{\alpha}k(lα)=(kl)α

(4)k(α+β)=kα+kβk(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}k(α+β)=kα+kβ

(5) α+β=β+α\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}α+β=β+α

(6)(α+β)+γ=α+(β+γ)(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})(α+β)+γ=α+(β+γ)

内积与模#

向量内积定义#

设 α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T\boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\dots,a_n)^\mathrm{T},\boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2,\dots,b_n)^\mathrm{T}α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T，则 α\boldsymbol{\alpha}α 与 β\boldsymbol{\beta}β 的内积为

(α,β)=αTβ=(a1,a2,…,an)(b1b2⋮bn)=a1b1+a2b2+⋯+anbn.(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta} =(a_1, a_2,\dots, a_n)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n.(α,β)=αTβ=(a1,a2,…,an)b1b2⋮bn=a1b1+a2b2+⋯+anbn.

向量内积的性质#

① (α,β)=(β,α)(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})(α,β)=(β,α)

② (kα,β)=k(α,β)(k\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=k(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})(kα,β)=k(α,β)

③ (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)

④ (α,α)=αTα≥0(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}\ge 0(α,α)=αTα≥0，且 (α,α)=αTα=0 ⟺ α=0(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}=0 \iff \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}(α,α)=αTα=0⟺α=0

其中 kkk 是数，α,β,γ\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}α,β,γ 均为 nnn 维向量。

柯西不等式：

∣(α,β)∣≤(α,α)(β,β).|(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})|\le \sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}\sqrt{(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta})}.∣(α,β)∣≤(α,α)(β,β).

向量的模、单位向量#

向量的模(范数)：

∥α∥=(α,α)=a12+a22+⋯+an2.\|\boldsymbol{\alpha}\|=\sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}.∥α∥=(α,α)=a12+a22+⋯+an2.

若 ∥α∥=1\|\boldsymbol{\alpha}\|=1∥α∥=1，称 α\boldsymbol{\alpha}α 为 单位向量。

向量模的性质：

① 非负性：∥α∥≥0\|\boldsymbol{\alpha}\|\ge 0∥α∥≥0；∥α∥=0 ⟺ α=0\|\boldsymbol{\alpha}\|=0 \iff \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}∥α∥=0⟺α=0。

② 齐次性：∥kα∥=∣k∣ ∥α∥\|k\boldsymbol{\alpha}\|=|k|\,\|\boldsymbol{\alpha}\|∥kα∥=∣k∣∥α∥。

③ 三角不等式: ∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥\|\boldsymbol{\alpha + \beta}\|\le\|\boldsymbol{\alpha}\| + \|\boldsymbol{\beta } \|∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥

向量的夹角、正交向量#

若 α,β\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}α,β 均不为 0\boldsymbol{0}0，则它们的夹角定义为

arccos⁡(α,β)(α,α)(β,β).\arccos\frac{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})}{\sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}\sqrt{(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta})}}.arccos(α,α)(β,β)(α,β).

若 (α,β)=0(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=0(α,β)=0，则称 α\boldsymbol{\alpha}α 与 β\boldsymbol{\beta}β 正交，记为 α⊥β\boldsymbol{\alpha}\perp\boldsymbol{\beta}α⊥β。

线性相关与线性无关#

如果有 不全为零 的数 k1,k2,⋯ ,ksk_1,k_2,\cdots,k_sk1,k2,⋯,ks，使

k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0,k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \boldsymbol{0},k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0,

称向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs 线性相关；

反之，如果只有在

k1=k2=⋯=ks=0k_1 = k_2 = \cdots = k_s = 0k1=k2=⋯=ks=0

时上式才成立，就称向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs 线性无关。

nnn 维向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs 线性相关的 充分必要条件 是它所构成的矩阵 A=[α1,α2,⋯ ,αs]A=[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s]A=[α1,α2,⋯,αs] 的秩小于向量个数 sss，即 r(A)<sr(A)<sr(A)<s；而 nnn 维向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs 线性无关的充分必要条件则是 r(A)=sr(A)=sr(A)=s。

Note

单个向量与某一向量组的关系:

β\betaβ 可以由 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 线性表示 ⟺ \iff⟺ 非齐次线性方程组

(α1,α2,⋯ ,αs)(k1k2⋮ks)=β(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s \end{pmatrix}=\beta(α1,α2,⋯,αs)k1k2⋮ks=β

有解

⟺ r(α1,α2,⋯ ,αs)=r(α1,α2,⋯ ,αs,β).\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)= r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta).⟺r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β).

β\betaβ 不能由 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 线性表示 ⟺ \iff⟺ 非齐次线性方程组

(α1,α2,⋯ ,αs)(k1k2⋮ks)=β(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s \end{pmatrix}=\beta(α1,α2,⋯,αs)k1k2⋮ks=β

无解

⟺ r(α1,α2,⋯ ,αs)<r(α1,α2,⋯ ,αs,β)\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)< r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)⟺r(α1,α2,⋯,αs)<r(α1,α2,⋯,αs,β) ⟺ r(α1,α2,⋯ ,αs,β)=r(α1,α2,⋯ ,αs)+1.\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)= r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)+1.⟺r(α1,α2,⋯,αs,β)=r(α1,α2,⋯,αs)+1.

判断向量组的线性相关性:

将问题转化为该向量组形成的矩阵，进而将该矩阵的秩与该向量组中向量的个数进行比较：

若秩的大小等于向量的个数，则线性无关；
若小于向量的个数，则线性相关。

特别地，当向量组的个数与维数相同时，可以利用行列式判断线性相关性。

判断线性相关性的常用结论#

（1）向量组 α1,α2,⋯ ,αs(s≥2)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\ge2)α1,α2,⋯,αs(s≥2) 线性相关 ⟺ \iff⟺ 其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。向量组 α1,α2,⋯ ,αs(s≥2)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\ge2)α1,α2,⋯,αs(s≥2) 线性无关 ⟺ \iff⟺ 其中任一个向量都不能由其余 s−1s-1s−1 个向量线性表示。

（2）包含零向量的向量组线性相关，单个非零向量线性无关；两个成比例的向量线性相关，两个不成比例的向量线性无关。

（3）nnn 维向量组 A:α1,α2,⋯ ,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nA:α1,α2,⋯,αn 线性相关 ⟺ ∣A∣=0\iff |A|=0⟺∣A∣=0；nnn 维向量组 A:α1,α2,⋯ ,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_nA:α1,α2,⋯,αn 线性无关 ⟺ ∣A∣≠0\iff |A|\ne0⟺∣A∣=0。向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。

（4）部分相关 ⇒\Rightarrow⇒ 整体相关；整体无关 ⇒\Rightarrow⇒ 部分无关 如果向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 的某部分向量组成的向量组线性相关，则向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 线性相关；如果向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 线性无关，则其任一部分向量组成的向量组都线性无关.

（5）原相关 ⇒\Rightarrow⇒ 缩短相关，原无关 ⇒\Rightarrow⇒ 延长无关 在 nnn 维向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 的各向量上添加 mmm 个分量变成 n+mn+mn+m 维向量 α~1,α~2,⋯ ,α~s\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\cdots,\tilde{\alpha}_sα~1,α~2,⋯,α~s. 如果 α~1,α~2,⋯ ,α~s\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\cdots,\tilde{\alpha}_sα~1,α~2,⋯,α~s（延长组）线性相关，那么 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs（原向量组）也线性相关；如果 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs（原向量组）线性无关，那么 α~1,α~2,⋯ ,α~s\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\cdots,\tilde{\alpha}_sα~1,α~2,⋯,α~s（延长组）也线性无关.

（6）设 p1,p2,⋯ ,pnp_1,p_2,\cdots,p_np1,p2,⋯,pn 为 1,2,⋯ ,n1,2,\cdots,n1,2,⋯,n 的一个排列，α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 和 α1′,α2′,⋯ ,αs′\alpha_1',\alpha_2',\cdots,\alpha_s'α1′,α2′,⋯,αs′ 为两向量组，其中 αi=(ai1,ai2,⋯ ,ain)T, αi′=(aip1,aip2,⋯ ,aipn)T,\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})^\mathrm{T},\ \alpha_i'=(a_{ip_1},a_{ip_2},\cdots,a_{ip_n})^\mathrm{T},αi=(ai1,ai2,⋯,ain)T, αi′=(aip1,aip2,⋯,aipn)T, 即 α1′,α2′,⋯ ,αs′\alpha_1',\alpha_2',\cdots,\alpha_s'α1′,α2′,⋯,αs′ 是对 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 各分量顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。

拓展：初等行变换不改变列向量组的线性相关性；初等列变换不改变行向量组的线性相关性。

（7）设向量组 β1,β2,⋯ ,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_sβ1,β2,⋯,βs 线性无关，而向量组 β1,β2,⋯ ,βs,α\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s,\alphaβ1,β2,⋯,βs,α 线性相关，则 α\alphaα 能由向量组 β1,β2,⋯ ,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_sβ1,β2,⋯,βs 线性表示，且表示式是唯一的。

（8）以少表多，多必相关 设向量组 β1,β2,⋯ ,βt\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_tβ1,β2,⋯,βt 可由向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 线性表示且 t>st>st>s，那么 β1,β2,⋯ ,βt\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_tβ1,β2,⋯,βt 线性相关。其等价命题：如果向量组 β1,β2,⋯ ,βt\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_tβ1,β2,⋯,βt 可由向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 线性表示，且 β1,β2,⋯ ,βt\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_tβ1,β2,⋯,βt 线性无关，那么 t≤st\le st≤s。

Tip

证明线性无关的常用思路

定义法：设 k1α1+⋯+ksαs=0k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0k1α1+⋯+ksαs=0，通过题目条件（如两边同乘 AAA、同取内积、同乘某个可逆矩阵）推出 kik_iki 全为 0。
秩法：把向量拼成矩阵，证明秩等于向量个数。
反证法：假设相关，则存在一个向量可由其余向量表示，再与已知的“无关/正交/特征值不同”等条件矛盾。
若要证明“不同特征值的特征向量线性无关”，可用数学归纳法或 Vandermonde 行列式，见特征值部分。

Tip

证明向量组等价的常用思路

若 (I)\mathrm{(I)}(I) 可由 (II)\mathrm{(II)}(II) 表示且 r(I)=r(II)r(\mathrm I)=r(\mathrm II)r(I)=r(II)，则两向量组等价。
等价于“三秩相同”：r(I)=r(II)=r(I,II)r(\mathrm I)=r(\mathrm II)=r(\mathrm I,\mathrm II)r(I)=r(II)=r(I,II)。
注意：矩阵等价只看秩，向量组等价还要求能互相线性表示（张成同一子空间）。

极大线性无关组#

设有向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs，如果在其中能选出 rrr 个向量 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 满足：（1）向量组 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 线性无关；（2）向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 中每个向量均能被 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 线性表示，

则称向量组 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}αi1,αi2,⋯,αir 是向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。

Note

只含有零向量的向量组，没有极大线性无关组，规定它的秩为 0

判断极大线性无关组#

看是否满足下列三点：

是否部分组
是否线性无关
个数是否满足要求

极大线性无关组一般不唯一

向量组等价#

如果向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 中每个向量都可由 β1,β2,⋯ ,βt\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_tβ1,β2,⋯,βt 线性表示，就称向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1,α2,⋯,αs 可由 β1,β2,⋯ ,βt\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_tβ1,β2,⋯,βt 线性表示；如果 两个向量组互相可以线性表示，就称它们等价。向量组等价具有 反身性、对称性、传递性，其中传递性需要引起重视。

向量组等价的常用判据#

（1）若向量组 (I)(\text{I})(I) 与向量组 (II)(\text{II})(II) 可 相互线性表示，则 (I)(\text{I})(I) 与 (II)(\text{II})(II) 等价。

（2）若向量组 (I)(\text{I})(I) 可由向量组 (II)(\text{II})(II) 线性表示，且 r(I)=r(II)r(\text{I})=r(\text{II})r(I)=r(II)，则向量组 (I)(\text{I})(I) 与向量组 (II)(\text{II})(II) 等价。

（3）若 r(I)=r(II)=r(I,II)r(\text{I})=r(\text{II})=r(\text{I},\text{II})r(I)=r(II)=r(I,II)（三秩相同），则向量组 (I)(\text{I})(I) 与向量组 (II)(\text{II})(II) 等价。

向量组等价的常用性质#

（1）向量组与其任一极大线性无关组等价。

（2）向量组的 任意两个极大线性无关组等价。

（3）等价向量组的极大线性无关组等价。

（4）等价向量组的秩相等。（相反，秩相等的两个向量组不一定等价）

两个向量组等价，向量的个数不一定相同

与矩阵等价的区分#

Important

矩阵等价是数值型等价，只看秩.

向量组等价是几何型等价，要看张成的子空间.

基础解系与解的结构#

设 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs 都是 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 的解，则解的线性组合

k1α1+k2α2+⋯+ksαsk_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_sk1α1+k2α2+⋯+ksαs

也是 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 的解，k1,k2,⋯ ,ksk_1,k_2,\cdots,k_sk1,k2,⋯,ks 是任意常数。

基础解系#

若 α1,α2,⋯ ,αn−r\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}α1,α2,⋯,αn−r 满足下列三条：（1）是解：α1,α2,⋯ ,αn−r\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}α1,α2,⋯,αn−r 均是齐次线性方程组 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 的解向量；（2）无关：α1,α2,⋯ ,αn−r\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}α1,α2,⋯,αn−r 线性无关；（3）个数满足要求：α1,α2,⋯ ,αn−r\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}α1,α2,⋯,αn−r 向量个数为 n−r(A)n-r(A)n−r(A)，

则称 α1,α2,⋯ ,αn−r\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}α1,α2,⋯,αn−r 为齐次线性方程组 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 的 基础解系。基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组。

定理：齐次线性方程组 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于 n−r(A)n-r(A)n−r(A)。

通解#

如果 α1,α2,⋯ ,αn−r\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}α1,α2,⋯,αn−r 为齐次线性方程组 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 的基础解系，则称

x=k1α1+k2α2+⋯+kn−rαn−r\boldsymbol{x}= k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\alpha}_{n-r}x=k1α1+k2α2+⋯+kn−rαn−r

为 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}Ax=0 的通解，其中 k1,k2,⋯ ,kn−rk_1,k_2,\cdots,k_{n-r}k1,k2,⋯,kn−r 是任意常数。

Note

快速求解的方法:

首先将系数矩阵变化为行最简型，然后根据口诀:

自由赋值定基准,

主元反算顺势跟

举例:

假设我们已经求得矩阵 A 的行最简形:

A=[101130100−20000000000]A = \begin{bmatrix} 1& 0& 1& 1& 3\\ 0& 1& 0& 0& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix}A=10000100100010003−200

可知: r(A)=2r(A) = 2r(A)=2, 故自由变量有 n−r(A)=5−2=3n - r(A) = 5-2 = 3n−r(A)=5−2=3 个

ξ1=(−10100)Tξ2=(−10010)Tξ3=(−32001)T\xi_1 = \begin{pmatrix} -1& 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix}^T \\ \xi_2 = \begin{pmatrix} -1& 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}^T \\ \xi_3 = \begin{pmatrix} -3& 2& 0& 0& 1 \end{pmatrix}^Tξ1=(−10100)Tξ2=(−10010)Tξ3=(−32001)T

非齐次线性方程组#

对于非齐次线性方程组 Ax=BAx=BAx=B 有无穷多解时，我们只需求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得 Ax=BAx=BAx=B 的全部解。

非齐次线性方程组（有解时）至多有 s+1s+1s+1 个线性无关解，其中 s=n−r(A)s = n-r(A)s=n−r(A)；若 b≠0b\neq 0b=0，这个上界可以达到。注意：若 r(A)=nr(A)=nr(A)=n（唯一解），则 s+1=1s+1=1s+1=1，并没有 s+1≥2s+1\ge2s+1≥2；只有无穷多解（s≥1s\ge1s≥1）时才有 s+1≥2s+1\ge2s+1≥2。

向量空间#

若 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 是 nnn 维向量空间 Rn\mathbf{R}^nRn 中的线性无关的有序向量组，则任一向量 α∈Rn\boldsymbol{\alpha}\in\mathbf{R}^nα∈Rn 均可由 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 线性表示，即 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 可以张成这个 nnn 维空间 Rn\mathbf{R}^nRn，记为

α=a1ξ1+a2ξ2+⋯+anξn,\boldsymbol{\alpha}= a_1\boldsymbol{\xi}_1+a_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+a_n\boldsymbol{\xi}_n,α=a1ξ1+a2ξ2+⋯+anξn,

称有序向量组 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 是 Rn\mathbf{R}^nRn 的一个基，基向量的个数 nnn 称为向量空间的维数，而 [a1,a2,⋯ ,an][a_1,a_2,\cdots,a_n][a1,a2,⋯,an]（[a1,a2,⋯ ,an]T[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T[a1,a2,⋯,an]T）称为向量 α\boldsymbol{\alpha}α 在基 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 下的坐标，或称为 α\boldsymbol{\alpha}α 的坐标行（列）向量。

Note

向量空间的基相当于一个向量组的极大线性无关组，向量空间的维数相当于向量组的秩
向量空间的任意两组基是等价的

过渡矩阵#

若 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 和 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 是 Rn\mathbf{R}^nRn 中的两个基，且有关系

[η1,η2,⋯ ,ηn]=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn][c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋮cn1cn2⋯cnn]=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn]C,(*)[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n] =[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n] \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} =[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{C}, \tag{*}[η1,η2,⋯,ηn]=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]c11c21⋮cn1c12c22⋮cn2⋯⋯⋯c1nc2n⋮cnn=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]C,(*){η1=c11ξ1+c21ξ2+⋯+cn1ξn,[c11,c21,⋯ ,cn1]为η1在ξ1,ξ2,⋯ ,ξn下的坐标η2=c12ξ1+c22ξ2+⋯+cn2ξn,[c12,c22,⋯ ,cn2]为η2在ξ1,ξ2,⋯ ,ξn下的坐标⋯⋯⋯⋯ηn=c1nξ1+c2nξ2+⋯+cnnξn,[c1n,c2n,⋯ ,cnn]为ηn在ξ1,ξ2,⋯ ,ξn下的坐标\begin{cases} \boldsymbol{\eta}_1 = c_{11}\boldsymbol{\xi}_1+c_{21}\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+c_{n1}\boldsymbol{\xi}_n,\quad [c_{11}, c_{21},\cdots, c_{n1}] 为\boldsymbol{\eta}_1 在\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n 下的坐标\\ \boldsymbol{\eta}_2 = c_{12}\boldsymbol{\xi}_1+c_{22}\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+c_{n2}\boldsymbol{\xi}_n,\quad [c_{12}, c_{22},\cdots, c_{n2}] 为\boldsymbol{\eta}_2 在\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n 下的坐标\\ \quad\cdots\cdots \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\cdots\cdots\\ \boldsymbol{\eta}_n = c_{1n}\boldsymbol{\xi}_1+c_{2n}\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+c_{nn}\boldsymbol{\xi}_n,\quad [c_{1n}, c_{2n},\cdots, c_{nn}] 为\boldsymbol{\eta}_n 在\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n 下的坐标 \end{cases}⎩⎨⎧η1=c11ξ1+c21ξ2+⋯+cn1ξn,[c11,c21,⋯,cn1]为η1在ξ1,ξ2,⋯,ξn下的坐标η2=c12ξ1+c22ξ2+⋯+cn2ξn,[c12,c22,⋯,cn2]为η2在ξ1,ξ2,⋯,ξn下的坐标⋯⋯⋯⋯ηn=c1nξ1+c2nξ2+⋯+cnnξn,[c1n,c2n,⋯,cnn]为ηn在ξ1,ξ2,⋯,ξn下的坐标

则 (∗)(*)(∗) 式称为由基 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 到基 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 的基变换公式，矩阵 C\boldsymbol{C}C 称为由基 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 到基 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 的过渡矩阵，C\boldsymbol{C}C 的第 iii 列即是 ηi\boldsymbol{\eta}_iηi 在基 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 下的坐标，且 过渡矩阵 C\boldsymbol{C}C 是可逆矩阵。

基座标变换#

设 α\boldsymbol{\alpha}α 在基 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 和基 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 下的坐标分别是 x=[x1,x2,⋯ ,xn]T\boldsymbol{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^\mathrm{T}x=[x1,x2,⋯,xn]T，y=[y1,y2,⋯ ,yn]T\boldsymbol{y}=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^\mathrm{T}y=[y1,y2,⋯,yn]T，即

α=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn]x=[η1,η2,⋯ ,ηn]y.\boldsymbol{\alpha}=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{x}=[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n]\boldsymbol{y}.α=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]x=[η1,η2,⋯,ηn]y.

又由基 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_nξ1,ξ2,⋯,ξn 到基 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 的过渡矩阵为 C\boldsymbol{C}C，即

[η1,η2,⋯ ,ηn]=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn]C,[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n]=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{C},[η1,η2,⋯,ηn]=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]C,

则

α=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn]x=[η1,η2,⋯ ,ηn]y=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn]Cy,\boldsymbol{\alpha}=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{x}=[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n]\boldsymbol{y}=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{C}\boldsymbol{y},α=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]x=[η1,η2,⋯,ηn]y=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]Cy,

得

x=Cy或y=C−1x.(**)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{y} \quad \text{或} \quad \boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{x}. \tag{**}x=Cy或y=C−1x.(**)

(∗∗)(**)(∗∗) 式称为坐标变换公式。

施密特正交化#

1）正交化

β1=x1,β2=x2−(x2,β1)(β1,β1)β1,β3=x3−(x3,β1)(β1,β1)β1−(x3,β2)(β2,β2)β2,⋮βk=xk−∑i=1k−1(xk,βi)(βi,βi)βi,k=1,2,…,n\begin{aligned} \boldsymbol{\beta}_1 &= \boldsymbol{x}_1,\\ \boldsymbol{\beta}_2 &= \boldsymbol{x}_2 - \frac{(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1,\\ \boldsymbol{\beta}_3 &= \boldsymbol{x}_3 - \frac{(\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1 - \frac{(\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_2)}\boldsymbol{\beta}_2,\\ &\vdots\\ \boldsymbol{\beta}_k &= \boldsymbol{x}_k - \sum_{i = 1}^{k-1}\frac{(\boldsymbol{x}_k,\boldsymbol{\beta}_i)}{(\boldsymbol{\beta}_i,\boldsymbol{\beta}_i)}\boldsymbol{\beta}_i,\quad k = 1,2,\dots, n \end{aligned}β1β2β3βk=x1,=x2−(β1,β1)(x2,β1)β1,=x3−(β1,β1)(x3,β1)β1−(β2,β2)(x3,β2)β2,⋮=xk−i=1∑k−1(βi,βi)(xk,βi)βi,k=1,2,…,n

2）单位化

γ1=1∥β1∥β1,γ2=1∥β2∥β2,⋯ ,γn=1∥βn∥βn\boldsymbol{\gamma}_1 = \frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|}\boldsymbol{\beta}_1,\quad \boldsymbol{\gamma}_2 = \frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|}\boldsymbol{\beta}_2,\quad \cdots,\quad \boldsymbol{\gamma}_n = \frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_n\|}\boldsymbol{\beta}_nγ1=∥β1∥1β1,γ2=∥β2∥1β2,⋯,γn=∥βn∥1βn

矩阵相似理论#

特征值与特征向量#

设 A\boldsymbol{A}A 为 nnn 阶矩阵，如果存在数 λ\lambdaλ 和非零的 nnn 维向量 x\boldsymbol{x}x，使得

Ax=λx\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}Ax=λx

成立，就称 λ\lambdaλ 是矩阵 A\boldsymbol{A}A 的特征值，x\boldsymbol{x}x 是 A\boldsymbol{A}A 的对应于特征值 λ\lambdaλ 的特征向量。

Note

特征值问题仅针对方阵, 非方阵无此概念.

特征向量必须是非零向量(x≠0x\ne 0x=0)，但特征值可以是实数 0.

求解特征值与特征向量#

上述定义式 Ax=λx\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}Ax=λx 是特征值和特征多项式满足的基本条件，移项可得

(λE−A)x=0(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(λE−A)x=0

上式实际上是一个含 nnn 个方程 nnn 个未知数的齐次线性方程组 Bx=0Bx=0Bx=0，其系数矩阵 BBB 为 λE−A\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}λE−A。特征向量 x\boldsymbol{x}x 可看成上述齐次线性方程组的一个非零解，因此 B=λE−AB=\lambda E-AB=λE−A 必定奇异（不可逆），即 r(λE−A)<nr(\lambda E-A)<nr(λE−A)<n，等价于:

∣λE−A∣=0\begin{vmatrix} \lambda E - A \end{vmatrix} = 0λE−A=0

上式称为 AAA 的特征方程，由此可以求解特征值 λ\lambdaλ，再代回 (λE−A)x=0(\lambda E-A)x=0(λE−A)x=0 求特征向量.

Important

nnn 阶矩阵 AAA 在复数范围内计重数共有 nnn 个特征值；特征向量（非零）通常有无穷多个，但线性无关的特征向量不一定有 nnn 个。

通常情况下，我们可以通过试根法来获得特征值, 下面是一个定理，可以帮助试根:

设

f(x)=1⋅xk+ak−1xk−1+⋯+a1x+a0f(x)=1\cdot x^k + a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0f(x)=1⋅xk+ak−1xk−1+⋯+a1x+a0

是系数 ai (i=0,1,2,…,k−1)a_i\,(i=0,1,2,\dots,k-1)ai(i=0,1,2,…,k−1) 都是整数的多项式，则 f(x)=0f(x)=0f(x)=0 的有理根都是整数，且均是 a0a_0a0 的因子。

一般性方法

(1) 求解特征方程 f(λ)=∣λE−A∣=0f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0f(λ)=∣λE−A∣=0，在复数范围内计重数得到 nnn 个根，这 nnn 个根就是矩阵 A\boldsymbol{A}A 的 nnn 个特征值。根的重数 kkk 称为代数重数（所有代数重数加起来必等于方程阶数 nnn）。

(2) 将各个特征值依次代入特征矩阵，求出齐次线性方程组 (λE−A)x=0(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(λE−A)x=0 的基础解系，就得到矩阵 A\boldsymbol{A}A 的各个特征值对应的全部特征向量。对于某个特征值 λ\lambdaλ，齐次方程组 (λE−A)x=0(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(λE−A)x=0 所对应的基础解系有 ppp 个线性无关的向量，称 ppp 为几何重数（p≥1p\ge1p≥1）。

性质及重要结论#

（1）特征值之积等于矩阵的行列式: ∣A∣=λ1λ2...λn\begin{vmatrix} A\end{vmatrix} = \lambda_1\lambda_2...\lambda_nA=λ1λ2...λn

（2）特征值之和为矩阵的迹: tr(A)=λ1+λ2+...+λntr(A) = \lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_ntr(A)=λ1+λ2+...+λn

（3）不同特征值对应的特征向量必线性无关: 若 ξ1,ξ2\xi_1, \xi_2ξ1,ξ2 是A的属于不同特征值 λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2λ1,λ2 的特征向量, 则 ξ1,ξ2\xi_1, \xi_2ξ1,ξ2 线性无关

Note

证明：不同特征值的特征向量线性无关。 设 Aξi=λiξi (i=1,…,m)A\xi_i=\lambda_i\xi_i\ (i=1,\dots,m)Aξi=λiξi (i=1,…,m)，λi\lambda_iλi 两两不同。若 k1ξ1+⋯+kmξm=0,k_1\xi_1+\cdots+k_m\xi_m=0,k1ξ1+⋯+kmξm=0, 两边左乘 AAA 得 k1λ1ξ1+⋯+kmλmξm=0k_1\lambda_1\xi_1+\cdots+k_m\lambda_m\xi_m=0k1λ1ξ1+⋯+kmλmξm=0。两式消去 ξm\xi_mξm 后，可归纳出 k1=⋯=km=0k_1=\cdots=k_m=0k1=⋯=km=0。也可写成 Vandermonde 形式：∑iki(λijξi)=0\sum_i k_i(\lambda_i^j\xi_i)=0∑iki(λijξi)=0，由 ξi\xi_iξi 的线性无关性与 Vandermonde 行列式非零得 ki=0k_i=0ki=0。

(4) 若 ξ1,ξ2\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2ξ1,ξ2 是 A\boldsymbol{A}A 的属于同一特征值 λ\lambdaλ 的特征向量，则非零向量 k1ξ1+k2ξ2k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2k1ξ1+k2ξ2 仍是 A\boldsymbol{A}A 的属于特征值 λ\lambdaλ 的特征向量。（常考其中一个系数（如 k2k_2k2）等于 000 的情形）

(5) 若 ξ1,ξ2\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2ξ1,ξ2 是 A\boldsymbol{A}A 的属于不同特征值 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2 的特征向量，则当 k1≠0,k2≠0k_1 \neq 0,k_2 \neq 0k1=0,k2=0 时，k1ξ1+k2ξ2k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2k1ξ1+k2ξ2 不是 A\boldsymbol{A}A 的任何特征值的特征向量。（常考 k1=k2=1k_1 = k_2 = 1k1=k2=1 的情形）

矩阵	A\boldsymbol{A}A	kAk\boldsymbol{A}kA	Ak\boldsymbol{A}^kAk	f(A)f(\boldsymbol{A})f(A)	A−1\boldsymbol{A}^{-1}A−1	A∗\boldsymbol{A}^*A∗	P−1AP\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}P−1AP
特征值	λ\lambdaλ	kλk\lambdakλ	λk\lambda^kλk	f(λ)f(\lambda)f(λ)	1λ\dfrac{1}{\lambda}λ1	$\dfrac{	\boldsymbol{A}
对应的特征向量	ξ\boldsymbol{\xi}ξ	ξ\boldsymbol{\xi}ξ	ξ\boldsymbol{\xi}ξ	ξ\boldsymbol{\xi}ξ	ξ\boldsymbol{\xi}ξ	ξ\boldsymbol{\xi}ξ	P−1ξ\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\xi}P−1ξ

Warning

上表中 A−1A^{-1}A−1 一列要求 AAA 可逆（λ≠0\lambda\neq0λ=0）；A∗A^*A∗ 一列在 AAA 可逆时特征值为 ∣A∣/λ|A|/\lambda∣A∣/λ。若 AAA 不可逆，A∗A^*A∗ 的特征值需单独讨论，不能直接套用 ∣A∣/λ|A|/\lambda∣A∣/λ。

秩为1的矩阵相关结论#

(1) tr(A)=αTβ=βTα=l\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}=ltr(A)=αTβ=βTα=l，都是同一个数。

(2) 此时，A\boldsymbol{A}A 满足 A2=lA\boldsymbol{A}^2=l\boldsymbol{A}A2=lA，从而可得 Am=lm−1A\boldsymbol{A}^m=l^{m-1}\boldsymbol{A}Am=lm−1A。

(3) A\boldsymbol{A}A 的特征值为：

tr(A),0,0,⋯ ,0⏟(n−1)个{若 tr(A)≠0, 则 A∼Λ若 tr(A)=0, 且 n≥2, A≠O, 则 A≁Λ\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}),\underbrace{0,0,\cdots,0}_{(n-1)\text{个}}\begin{cases} \text{若}\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})\neq 0,\ \text{则}\ \boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda}\\[4pt] \text{若}\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=0,\ \text{且}\ n\ge2,\ \boldsymbol{A}\ne O,\ \text{则}\ \boldsymbol{A}\not\sim \boldsymbol{\Lambda} \end{cases}tr(A),(n−1)个0,0,⋯,0{若 tr(A)=0, 则 A∼Λ若 tr(A)=0, 且 n≥2, A=O, 则 A∼Λ

矩阵相似#

设A\boldsymbol{A}A与B\boldsymbol{B}B都是nnn阶矩阵，若存在一个可逆nnn阶矩阵P\boldsymbol{P}P，使得P−1AP=B\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}P−1AP=B，则称A\boldsymbol{A}A相似于B\boldsymbol{B}B，或称A\boldsymbol{A}A经过了一个相似变换得到了B\boldsymbol{B}B，记为A∼B\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}A∼B。

常用必要条件#

A∼B⇒{∣λE−A∣=∣λE−B∣{λA=λB∣A∣=∣B∣tr(A)=tr(B)r(A)=r(B)r(λE−A)=r(λE−B)\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B} \Rightarrow \begin{cases} |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}| \begin{cases} \lambda_{\boldsymbol{A}}=\lambda_{\boldsymbol{B}}\\ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|\\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{B}) \end{cases}\\[8pt] r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})\\[4pt] r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}) \end{cases}A∼B⇒⎩⎨⎧∣λE−A∣=∣λE−B∣⎩⎨⎧λA=λB∣A∣=∣B∣tr(A)=tr(B)r(A)=r(B)r(λE−A)=r(λE−B)

常用性质#

（1）传递性：若A∼C\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{C}A∼C，B∼C\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{C}B∼C，则A∼B\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}A∼B

（2）若A∼B\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}A∼B，则kA∼kBk\boldsymbol{A}\sim k\boldsymbol{B}kA∼kB，Am∼Bm\boldsymbol{A}^m \sim \boldsymbol{B}^mAm∼Bm，f(A)∼f(B)f(\boldsymbol{A})\sim f(\boldsymbol{B})f(A)∼f(B)，其中f(A)=anAn+⋯+a1A1+a0Ef(\boldsymbol{A})=a_n\boldsymbol{A}^n+\cdots+a_1\boldsymbol{A}^1+a_0\boldsymbol{E}f(A)=anAn+⋯+a1A1+a0E， f(B)=anBn+⋯+a1B1+a0Ef(\boldsymbol{B})=a_n\boldsymbol{B}^n+\cdots+a_1\boldsymbol{B}^1+a_0\boldsymbol{E}f(B)=anBn+⋯+a1B1+a0E。

（3）若A∼B\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}A∼B，还可推得AT∼BT\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\sim \boldsymbol{B}^\mathrm{T}AT∼BT，A∗∼B∗\boldsymbol{A}^*\sim \boldsymbol{B}^*A∗∼B∗。

（4）若A∼B\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}A∼B，且A\boldsymbol{A}A可逆，则A−1∼B−1,f(A−1)∼f(B−1),AB∼BA\boldsymbol{A}^{-1}\sim \boldsymbol{B}^{-1},f(\boldsymbol{A}^{-1})\sim f(\boldsymbol{B}^{-1}),\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}A−1∼B−1,f(A−1)∼f(B−1),AB∼BA。

（5）若A∼C\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{C}A∼C，B∼D\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{D}B∼D，则(AOOB)∼(COOD)\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D} \end{pmatrix}(AOOB)∼(COOD)。

（6）∣A∣=∣B∣|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|∣A∣=∣B∣。

（7）r(A)=r(B)r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})r(A)=r(B)。

（8）tr(A)=tr(B)\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{B})tr(A)=tr(B)。

（9）λA=λB\lambda_{\boldsymbol{A}}=\lambda_{\boldsymbol{B}}λA=λB（或∣λE−A∣=∣λE−B∣|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|∣λE−A∣=∣λE−B∣）。

（10）r(λE−A)=r(λE−B)r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B})r(λE−A)=r(λE−B)。

（11）A,B\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}A,B 的各阶主子式之和分别相等。

判断矩阵相似#

主要靠定义或相似的传递性。常用性质只是必要条件，用于快速判断“不相似”；即使所有必要条件都满足，也不一定相似。要判定“相似”通常需要找可逆矩阵 PPP，或利用“有相同的特征多项式且均可对角化（或相同的 Jordan 结构）”。

Important

乘积的相似性，不携带任何关于A和B自身特征值总和的信息。

构造反例的核心思路: 让两个矩阵在迹或特征值上明显不同，但同时满足选项中的奇怪条件(如伴随相等，特征值相等，可交换)

矩阵的相似对角化#

设Aαi=λiαi (i=1,2,…,n)\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_i = \lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i \ (i=1,2,\dots,n)Aαi=λiαi (i=1,2,…,n)，则

A(α1,α2,…,αn)=(λ1α1,λ2α2,…,λnαn)=(α1,α2,…,αn)(λ1λ2⋱λn).\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n) =(\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1,\lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\lambda_n\boldsymbol{\alpha}_n) =(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}.A(α1,α2,…,αn)=(λ1α1,λ2α2,…,λnαn)=(α1,α2,…,αn)λ1λ2⋱λn.

当α1,α2,…,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_nα1,α2,…,αn线性无关时，记P=(α1,α2,…,αn)\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)P=(α1,α2,…,αn)，则P\boldsymbol{P}P可逆，记

Λ=(λ1λ2⋱λn),\boldsymbol{\Lambda}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix},Λ=λ1λ2⋱λn,

故AP=PΛ\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}AP=PΛ，即P−1AP=Λ\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}P−1AP=Λ，称A\boldsymbol{A}A相似于Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ，记作A∼Λ\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda}A∼Λ。

可相似对角化的条件#

（1）（充要条件）设A\boldsymbol{A}A是nnn阶矩阵，则A∼Λ ⟺ A\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda} \iff \boldsymbol{A}A∼Λ⟺A恰有nnn个线性无关的特征向量。该条性质也可等价表示为矩阵A\boldsymbol{A}A每个特征值的几何重数等于代数重数。

（2）（充分条件）若nnn阶矩阵A\boldsymbol{A}A有nnn个不同的特征值，则矩阵A\boldsymbol{A}A必相似于对角矩阵。

若nnn阶矩阵A\boldsymbol{A}A为实对称矩阵，则矩阵A\boldsymbol{A}A必相似于对角矩阵。(实对称矩阵一定存在N个两两正交的实特征向量。)

若nnn阶矩阵A\boldsymbol{A}A满足A2=A\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}A2=A，则矩阵A\boldsymbol{A}A必相似于对角矩阵。

若nnn阶矩阵A\boldsymbol{A}A满足A2=E\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}A2=E，则矩阵A\boldsymbol{A}A必相似于对角矩阵。

最后两条要证明才能使用

Note

简要证明 A2=AA^2=AA2=A 与 A2=EA^2=EA2=E 可对角化。

若 A2=AA^2=AA2=A，特征值满足 λ2=λ\lambda^2=\lambdaλ2=λ，故 λ=0\lambda=0λ=0 或 111。由 A2−A=OA^2-A=OA2−A=O 可推出 r(A)+r(E−A)=nr(A)+r(E-A)=nr(A)+r(E−A)=n，从而 000 的几何重数 =n−r(A)=n-r(A)=n−r(A)、111 的几何重数 =r(A)=r(A)=r(A)，两者分别等于代数重数，故可对角化。
若 A2=EA^2=EA2=E，特征值满足 λ2=1\lambda^2=1λ2=1，故 λ=1\lambda=1λ=1 或 −1-1−1。同理可由 r(E−A)+r(E+A)=nr(E-A)+r(E+A)=nr(E−A)+r(E+A)=n 得到几何重数等于代数重数，故可对角化。

（3）（必要条件）若nnn阶矩阵A∼Λ\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda}A∼Λ，则

{∣A∣=∣Λ∣tr(A)=tr(Λ)r(A)=r(Λ).\begin{cases} |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{\Lambda}|\\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Lambda})\\ r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{\Lambda}) \end{cases}.⎩⎨⎧∣A∣=∣Λ∣tr(A)=tr(Λ)r(A)=r(Λ).

一般求解步骤#

（1）求出A\boldsymbol{A}A的所有的特征值λ1、λ2⋯λn\lambda_1、\lambda_2\cdots\lambda_nλ1、λ2⋯λn，其中互不相等的特征值为λp1,λp2,⋯ ,λpr(r≤n)\lambda_{p1},\lambda_{p2},\cdots,\lambda_{pr}(r\le n)λp1,λp2,⋯,λpr(r≤n)。

（2）若A\boldsymbol{A}A可对角化，则**kkk重特征值λ\lambdaλ必对应kkk个线性无关的特征向量**，求出每一个齐次方程组 (λpiE−A)x=0(i=1,2,⋯ ,r)(\lambda_{pi}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(i=1,2,\cdots,r)(λpiE−A)x=0(i=1,2,⋯,r)的基础解系，合并后必可得到A\boldsymbol{A}A的nnn个线性无关的特征向量x1、x2⋯xn\boldsymbol{x}_1、\boldsymbol{x}_2\cdots\boldsymbol{x}_nx1、x2⋯xn。

（3）令P=(x1,x2,⋯ ,xn)\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n)P=(x1,x2,⋯,xn)，Λ=(λ1λ2⋱λn)\boldsymbol{\Lambda}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}Λ=λ1λ2⋱λn，则P\boldsymbol{P}P可逆，且有P−1AP=Λ\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}P−1AP=Λ。一定要注意这里P\boldsymbol{P}P的每一列xj(j=1,2,⋯ ,n)\boldsymbol{x}_j(j=1,2,\cdots,n)xj(j=1,2,⋯,n)的排序应与Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ中对应的λj(j=1,2,⋯ ,n)\lambda_j(j=1,2,\cdots,n)λj(j=1,2,⋯,n)的排序相同！

Note

P没有唯一性

实对称矩阵相似对角化#

正交矩阵#

（1）定义若nnn阶矩阵A\boldsymbol{A}A满足**ATA=AAT=E\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}=\boldsymbol{E}ATA=AAT=E**，则称矩阵A\boldsymbol{A}A为正交矩阵。

（2）性质

QTQ=E⇒{∣Q∣=±1Q−1=QTQ 由规范正交基组成{QT、Q∗、Q−1也是正交阵若干个同阶正交阵相乘仍是正交阵实特征值为 1 或 −1；复特征值的模为 1\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{E} \Rightarrow \begin{cases} |\boldsymbol{Q}|=\pm 1\\ \boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\\ \boldsymbol{Q}\text{ 由规范正交基组成} \end{cases} \quad \begin{cases} \boldsymbol{Q}^\mathrm{T}、\boldsymbol{Q}^*、\boldsymbol{Q}^{-1}\text{也是正交阵}\\ \text{若干个同阶正交阵相乘仍是正交阵}\\ \text{实特征值为 }1\text{ 或 }-1\text{；复特征值的模为 }1 \end{cases}QTQ=E⇒⎩⎨⎧∣Q∣=±1Q−1=QTQ 由规范正交基组成⎩⎨⎧QT、Q∗、Q−1也是正交阵若干个同阶正交阵相乘仍是正交阵实特征值为 1 或 −1；复特征值的模为 1

实对称矩阵的性质#

（1）nnn阶实对称矩阵A\boldsymbol{A}A有nnn个实的特征值，也必有nnn个线性无关的特征向量，且矩阵A\boldsymbol{A}A的几何重数等于代数重数。

（2）实对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量必是正交的，即λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1=λ2时，有(x1,x2)=x1Tx2=0(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{x}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{x}_2=0(x1,x2)=x1Tx2=0。

Note

证明实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。 设 Ax1=λ1x1, Ax2=λ2x2Ax_1=\lambda_1x_1,\ Ax_2=\lambda_2x_2Ax1=λ1x1, Ax2=λ2x2，λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2λ1=λ2。由实对称性，

λ1(x1,x2)=(Ax1,x2)=(Ax1)Tx2=x1TATx2=x1TAx2=λ2(x1,x2).\lambda_1(x_1,x_2)=(Ax_1,x_2)=(Ax_1)^\mathrm{T}x_2=x_1^\mathrm{T}A^\mathrm{T}x_2=x_1^\mathrm{T}Ax_2=\lambda_2(x_1,x_2).λ1(x1,x2)=(Ax1,x2)=(Ax1)Tx2=x1TATx2=x1TAx2=λ2(x1,x2).

故 (λ1−λ2)(x1,x2)=0(\lambda_1-\lambda_2)(x_1,x_2)=0(λ1−λ2)(x1,x2)=0，因 λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2λ1=λ2，得 (x1,x2)=0(x_1,x_2)=0(x1,x2)=0。

（3）nnn阶实对称矩阵A\boldsymbol{A}A不但可以相似对角化，还能正交相似对角化，也即存在正交矩阵Q\boldsymbol{Q}Q，使得

QTAQ=Q−1AQ=Λ=(λ1λ2⋱λn)\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}QTAQ=Q−1AQ=Λ=λ1λ2⋱λn

λ1,λ2,…,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_nλ1,λ2,…,λn 是 A\boldsymbol{A}A 的特征值。

实对称矩阵正交对角化的一般步骤#

(1) 求出实对称矩阵 AAA 的所有的特征值 λ1、λ2⋯λn\lambda_1、\lambda_2\cdots\lambda_nλ1、λ2⋯λn，其中互不相等的特征值为 λp1、λp2⋯λpr\lambda_{p_1}、\lambda_{p_2}\cdots\lambda_{p_r}λp1、λp2⋯λpr。

(2) 求出每一个齐次方程组 (λplE−A)x=0(l=1,2,⋯ ,r)(\lambda_{p_l}E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(l=1,2,\cdots,r)(λplE−A)x=0(l=1,2,⋯,r) 的基础解系，合并后必可得到 AAA 的 nnn 个线性无关的特征向量 x1、x2⋯xn\boldsymbol{x}_1、\boldsymbol{x}_2\cdots\boldsymbol{x}_nx1、x2⋯xn，再将 x1、x2⋯xn\boldsymbol{x}_1、\boldsymbol{x}_2\cdots\boldsymbol{x}_nx1、x2⋯xn 先正交化再单位化，得到 γ1,γ2,⋯ ,γn\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\cdots,\boldsymbol{\gamma}_nγ1,γ2,⋯,γn。

(3) 令 Q=(γ1,γ2,⋯ ,γn)Q=(\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\cdots,\boldsymbol{\gamma}_n)Q=(γ1,γ2,⋯,γn)，Λ=(λ1λ2⋱λn)\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}Λ=λ1λ2⋱λn，则 QQQ 可逆，且有 Q−1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\LambdaQ−1AQ=QTAQ=Λ。

(4) 实际操作时，由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对同一特征值对应的多个特征向量做施密特正交化再单位化；若某一特征值只对应一个特征向量，直接单位化即可。

Note

因为不同特征值的特征向量必然正交，所以只需要将相同特征值对应的特征向量正交化。

二次型#

含有 nnn 个变量 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn 的二次实齐次多项式

f(x1,x2,⋯ ,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+⋯+2a2nx2xn+⋯+annxn2\begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n \\ &\quad + a_{22}x_2^2 + \cdots + 2a_{2n}x_2x_n \\ &\quad + \cdots \\ &\quad + a_{nn}x_n^2 \tag{①} \end{align*}f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+⋯+2a2nx2xn+⋯+annxn2(①)

称为 nnn 元二次型，简称二次型。

当 j>ij>ij>i 时，取 aji=aija_{ji}=a_{ij}aji=aij，则 2aijxixj=aijxixj+ajixjxi2a_{ij}x_ix_j = a_{ij}x_ix_j + a_{ji}x_jx_i2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是①式可写成

f(x1,x2,⋯ ,xn)=a11x12+a12x1x2+⋯+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+⋯+a2nx2xn+⋯+an1xnx1+an2xnx2+⋯+annxn2\begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= a_{11}x_1^2 + a_{12}x_1x_2 + \cdots + a_{1n}x_1x_n \\ &\quad + a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{2n}x_2x_n \\ &\quad + \cdots \\ &\quad + a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 \tag{②} \end{align*}f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+a12x1x2+⋯+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+⋯+a2nx2xn+⋯+an1xnx1+an2xnx2+⋯+annxn2(②)

可简记为 f(x1,x2,⋯ ,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_jf(x1,x2,⋯,xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj，其中 aji=aij, 1≤i,j≤na_{ji}=a_{ij},\ 1\le i,j\le naji=aij, 1≤i,j≤n。

进一步，利用矩阵，②式可表示为

f(x1,x2,⋯ ,xn)=x1(a11x1+a12x2+⋯+a1nxn)+x2(a21x1+a22x2+⋯+a2nxn)+⋯+xn(an1x1+an2x2+⋯+annxn)=(x1,x2,⋯ ,xn)(a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn)=(x1,x2,⋯ ,xn)(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)(x1x2⋮xn)=记作xTAx\begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= x_1(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)+x_2(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x_n)+\cdots+x_n(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n) \\ &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n \end{pmatrix} \\ &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &\quad \xlongequal{\text{记作}} \boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x} \end{align*}f(x1,x2,⋯,xn)=x1(a11x1+a12x2+⋯+a1nxn)+x2(a21x1+a22x2+⋯+a2nxn)+⋯+xn(an1x1+an2x2+⋯+annxn)=(x1,x2,⋯,xn)a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=(x1,x2,⋯,xn)a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮annx1x2⋮xn记作xTAx

其中，矩阵 AAA 为实对称矩阵 (A=AT)(A=A^\mathrm{T})(A=AT)。此时矩阵 AAA 唯一，称 AAA 为该二次型的矩阵。实对称矩阵 AAA 的秩称为实二次型 f(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAxf(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx 的秩。

Note

二次型是一个数

遇到不对称的二次型矩阵需要先转化为对称的

可逆线性变换与矩阵合同#

可逆线性变换#

设 x=(x1,x2,⋯ ,xn)T\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^\mathrm{T}x=(x1,x2,⋯,xn)T，y=(y1,y2,⋯ ,yn)T\boldsymbol{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^\mathrm{T}y=(y1,y2,⋯,yn)T，C=(cij)n×nC=(c_{ij})_{n\times n}C=(cij)n×n 可逆，则称坐标变换（CCC 可逆）

(x1x2⋮xn)=(c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋮⋮cn1cn2⋯cnn)(y1y2⋮yn)(x=Cy)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\quad(\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y})x1x2⋮xn=c11c21⋮cn1c12c22⋮cn2⋯⋯⋮⋯c1nc2n⋮cnny1y2⋮yn(x=Cy)

为由 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn 到 y1,y2,⋯ ,yny_1,y_2,\cdots,y_ny1,y2,⋯,yn 的可逆（满秩）线性变换。如果 CCC 是正交矩阵，那么此时也称为正交变换。

矩阵合同#

设有两个 nnn 阶矩阵 A,BA,BA,B，如果存在一个可逆 nnn 阶矩阵 CCC，使

CTAC=BC^\mathrm{T}AC = BCTAC=B

则称矩阵 AAA 与 BBB 合同，记为 A≃BA \simeq BA≃B。

Note

二次型做可逆线性变换 x=Cy\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y}x=Cy 时：

f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTByf=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x} =(C\boldsymbol{y})^\mathrm{T}A(C\boldsymbol{y}) =\boldsymbol{y}^\mathrm{T}(C^\mathrm{T}AC)\boldsymbol{y} =\boldsymbol{y}^\mathrm{T}B\boldsymbol{y}f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy

新二次型矩阵 B=CTACB=C^\mathrm{T}ACB=CTAC，即前后两个二次型的矩阵合同。

合同的性质#

①反身性：AAA 与自身合同，显然 ETAE=AE^\mathrm{T}AE=AETAE=A；

②**对称性：**若 AAA 与 BBB 合同，则 BBB 与 AAA 合同；

③**传递性：**若 AAA 与 BBB 合同，BBB 与 DDD 合同，则 AAA 与 DDD 合同；

④特别地，若 CCC 为正交矩阵，且满足 CTAC=BC^\mathrm{T}AC=BCTAC=B，则 AAA 与 BBB 既合同，又相似；

⑤矩阵 AAA 与 BBB 合同，则 AAA 与 BBB 的秩相等，正负惯性指数均相等。

二次型的标准型和规范型#

只含平方项而不含混合项的二次型称为标准形，即 f(x1,x2,…,xn)=d1x12+d2x22+⋯+dnxn2.f(x_1,x_2,\dots,x_n)=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\dots+d_nx_n^2.f(x1,x2,…,xn)=d1x12+d2x22+⋯+dnxn2.

如果上述标准形中的系数 di (i=1,…,n)d_i\ (i=1,\dots,n)di (i=1,…,n) 均为 111 或 −1-1−1 或 000，则称其为规范形。规范形是一种特殊的标准形。

二次型化为标准型#

Important

★定理1 任何二次型 f(x)=xTAxf(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}f(x)=xTAx 均可通过配方法(作可逆线性变换 x=Cy\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y}x=Cy)化成标准形及规范形， AAA 合同于对角矩阵

用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 AAA，必存在可逆矩阵 CCC，使得 CTAC=ΛC^\mathrm{T}AC=\varLambdaCTAC=Λ，其中

★定理2 任何二次型 f(x)=xTAxf(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}f(x)=xTAx 也可以通过正交变换 x=Qy\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}x=Qy 化成标准形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 AAA，一定存在正交矩阵 QQQ，使得

Q−1AQ=QTAQ=ΛQT=Q−1Q^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\varLambda \\ Q^\mathrm{T}=Q^{-1}Q−1AQ=QTAQ=ΛQT=Q−1

当 QQQ 为正交矩阵时，AAA 和 Λ\varLambdaΛ 的合同与 AAA 和 Λ\varLambdaΛ 的相似是一回事。

QQQ 一定是由 AAA 的特征向量拼成的，

正交矩阵 QQQ 不是唯一的

一般而言，有两种常用的方法将二次型化为标准形:

（1）正交变换任一 nnn 元实二次型 f(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAxf(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx 都可以经过一个正交变换 x=Qy\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}x=Qy 化为标准形，即化为：

λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2

其中，λ1、λ2、⋯、λn\lambda_1、\lambda_2、\cdots、\lambda_nλ1、λ2、⋯、λn 恰为二次型 fff 的矩阵 AAA 的 nnn 个特征值。

这是因为 Q−1AQ=ΛQ^{-1}AQ=\varLambdaQ−1AQ=Λ，而 QQQ 为正交矩阵，满足 Q−1=QTQ^{-1}=Q^\mathrm{T}Q−1=QT，故有 Q−1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\varLambdaQ−1AQ=QTAQ=Λ。

因此，有

f=xTAx→x=Qy(Qy)TA(Qy)=yT(QTAQ)y=yTΛyf=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x} \xrightarrow{\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}} (Q\boldsymbol{y})^\mathrm{T}A(Q\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}(Q^\mathrm{T}AQ)\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}\varLambda\boldsymbol{y}f=xTAxx=Qy(Qy)TA(Qy)=yT(QTAQ)y=yTΛy

可以看到，QQQ 为连接矩阵相似与二次型的桥梁。需要提醒的是，正交变换 x=Qy\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}x=Qy 下得到的 Λ\varLambdaΛ 的主对角线元素是 AAA 的特征值。

而且，正交变换在几何上一个重要特点是它能够保持向量的长度，这是因为

∥x∥=xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy=∥y∥\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}}=\sqrt{(Q\boldsymbol{y})^\mathrm{T}(Q\boldsymbol{y})}=\sqrt{\boldsymbol{y}^\mathrm{T}Q^\mathrm{T}Q\boldsymbol{y}}=\sqrt{\boldsymbol{y}^\mathrm{T}\boldsymbol{y}}=\|\boldsymbol{y}\|∥x∥=xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy=∥y∥

（2）配方法对二次型

f(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAx=∑i=1n∑j=1naijxixjf(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_jf(x1,x2,⋯,xn)=xTAx=i=1∑nj=1∑naijxixj

先找出一个系数不为零的平方项 xk2x_k^2xk2，把所有包含 xkx_kxk 的项集中到一起，配成完全平方的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项 xl2x_l^2xl2，同样把所有包含 xlx_lxl 的项集中到一起，配成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。

若二次型不含平方项，但 aij≠0(i≠j)a_{ij}\neq 0(i\neq j)aij=0(i=j)，则可先作可逆线性变换（坐标变换）

{xi=yi+yjxj=yi−yjxk=yk (k≠i,j, k=1,2,⋯ ,n)\begin{cases} x_i = y_i + y_j\\ x_j = y_i - y_j\\ x_k = y_k \;(k\neq i,j,\,k=1,2,\cdots,n) \end{cases}⎩⎨⎧xi=yi+yjxj=yi−yjxk=yk(k=i,j,k=1,2,⋯,n)

化二次型为含平方项的二次型，再按上述配方法进行。

Tip

正交变换法与配方法的选择

正交变换法：适合需要“几何意义”或题目明确要求正交变换；得到的标准形系数是特征值，计算量通常较大（需先求特征值、特征向量并正交化）。
配方法：适合只需要判断惯性指数、正定性或合同性；计算量较小，且得到标准形系数不必是特征值，但必须保证变换可逆。
若题目问“是否合同”，本质上比较“秩 + 正惯性指数”，用配方法更快。
注意：配方法中若做了“先令 xi=yi+yj, xj=yi−yjx_i=y_i+y_j,\ x_j=y_i-y_jxi=yi+yj, xj=yi−yj”的变换，该变换矩阵是 C=(111−1)C=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}C=(111−1)（相应分块），其行列式不为 0，因此是可逆线性变换。

惯性定理#

惯性定理：二次型 f(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAxf(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx 对应的标准形中，平方项前正系数个数 ppp 和负系数个数 qqq 都是唯一确定的，称 ppp 为二次型的正惯性指数，qqq 为负惯性指数。

由惯性定理可以得到以下结论： (1) p+q=r(A)p+q=r(A)p+q=r(A)，即正负惯性指数之和与矩阵 AAA 的秩相等； (2) 二次型的规范形是唯一确定的； (3) 设 A,BA,BA,B 为同阶实对称矩阵，则 AAA 与 BBB 合同的充分必要条件为 A,BA,BA,B 的秩和正惯性指数相同； (4) nnn 个变量的两个不同的二次型合同 ⟺ \iff⟺ 规范形相同 ⟺ \iff⟺ 正、负惯性指数相等。

Important

规范形形式：(y_1^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_{p+q}^2)，系数只能是 (1,-1,0)；
实对称矩阵合同判定核心：秩相同且正惯性指数相同；
正交变换得到的标准形系数是特征值；配方法得到的标准形系数不一定是特征值，但正负惯性指数保持不变。

正定二次型#

若对任意非零实向量 x=(x1,⋯ ,xn)T\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}x=(x1,⋯,xn)T，有

f(x1,⋯ ,xn)=xTAx>0f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}>0f(x1,⋯,xn)=xTAx>0

则称 f(x1,⋯ ,xn)f(x_1,\cdots,x_n)f(x1,⋯,xn) 为正定二次型，它所对应的矩阵 AAA 称为正定矩阵。

Note

拓展常用充要条件（复习配套）设 AAA 为 nnn 阶实对称矩阵，则下述命题等价：

AAA 是正定矩阵；
二次型 xTAx\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}xTAx 正定；
AAA 的正惯性指数 p=np=np=n；
AAA 合同于单位矩阵 EEE；
存在可逆矩阵 CCC，使得 A=CTCA=C^\mathrm{T}CA=CTC；
AAA 的所有特征值全都大于 000；
AAA 的各阶顺序主子式全都大于 000（霍尔维茨定理）。

小提醒：正定矩阵一定是实对称矩阵；做题遇到正定矩阵，默认满足 AT=AA^\mathrm{T}=AAT=A。

正定二次型的判定#

二次型 f(x1,⋯ ,xn)=d1x12+⋯+dnxn2f(x_1,\cdots,x_n)=d_1x_1^2+\cdots+d_nx_n^2f(x1,⋯,xn)=d1x12+⋯+dnxn2 是正定的充分必要条件为 di(i=1,⋯ ,n)d_i(i=1,\cdots,n)di(i=1,⋯,n) 均大于零。

重要定理: 可逆线性变换不改变二次型的正定性

一个二次型通过坐标变换将其化为标准型，就容易判断正定性。

除此以外，判别二次型的正定性常常用以下几条充分必要条件：

nnn 元实二次型 f(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAxf(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx 正定 ⇔\Leftrightarrow⇔

（1）正惯性指数 ppp 等于 nnn

（2）AAA 的特征值均大于零

（3）所有顺序主子式均大于零

（4）AAA 与 EEE 合同

（5）存在可逆矩阵 PPP，使得 A=PTPA=P^\mathrm{T}PA=PTP

由此衍生出正定矩阵 AAA 的几个性质：若实对称矩阵 AAA 正定，则

（1）AAA 的主对角元 aii>0(i=1,2,⋯ ,n)a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n)aii>0(i=1,2,⋯,n)；

（2）AAA 的行列式 ∣A∣>0|A|>0∣A∣>0；

（3）AT,A−1,A∗,AmA^\mathrm{T},A^{-1},A^*,A^mAT,A−1,A∗,Am（mmm 为正整数）均为正定矩阵；

（4）A,BA,BA,B 为 nnn 阶正定矩阵，则 A+BA+BA+B 也是正定矩阵，但 ABABAB 未必是正定矩阵。

易混概念速查#

概念	定义/关键	主要判定
矩阵等价	同型矩阵经初等变换互化	r(A)=r(B)r(A)=r(B)r(A)=r(B)
向量组等价	两向量组能互相线性表示	r(I)=r(II)=r(I,II)r(I)=r(II)=r(I,II)r(I)=r(II)=r(I,II)
矩阵相似	P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，PPP 可逆	特征多项式相同、秩/迹/行列式相同（必要条件）；可对角化时看特征值及重数
矩阵合同	CTAC=BC^\mathrm{T}AC=BCTAC=B，CCC 可逆	实对称矩阵：秩相同且正惯性指数相同
正交矩阵	QTQ=QQT=EQ^\mathrm{T}Q=QQ^\mathrm{T}=EQTQ=QQT=E	列（行）向量组是规范正交基

Tip

考场快速检查

证明 AB=BAAB=BAAB=BA 有时可用“若 AAA 可逆，则 AB∼BAAB\sim BAAB∼BA”；
看到实对称矩阵，优先想“正交对角化”“特征值全为实数”“不同特征值特征向量正交”；
看到二次型正定，优先用“顺序主子式全 >0>0>0”或“特征值全 >0>0>0”。

7.22移动DNS欺骗分析

Thu, 23 Jul 2026 00:00:00 GMT

前言#

在 7.22 凌晨1点30左右，刚关闭代理学习完，准备刷会抖音睡觉时，edge浏览器不停自启动，前两次是跳转至微软的MSN界面，然后开始不演了，跳转至了一个赌博界面 https:/gm.6sj7y0mp.co/dfpage06_jd#/?code=5461432。

在下午时，这个现象又发生了：这次是Windows 网络状态图标一度显示“无法连接 Internet”或“需要登录”，但浏览器仍能正常访问多数网站。系统或用户点击网络登录提示后，默认浏览器 Microsoft Edge打开后从 http://www.msftconnecttest.com/redirect 跳转至 https://ddf0718.yy6ma5q.cc。

Warning

这些网站可能存在风险，不要随意点击

分析#

使用 reqable 进行抓包分析，发现微软的网络连通性测试域名 www.msftconnecttest.com 被攻击者劫持了，返回了一个恶意ip：112.121.185.202

Note

msftconnecttest 托管在 Akamai上，使用 Akamai CDN进行全球网络分发，具体的ip段可以参考这个项目Akamai-ASN-and-IPs-List

恶意ip归属

由于该ip的服务不包含接口\connecttest.txt，因此Windows的网络连通性检测模块无法知道是否成功连接上，所以右下角会显示无法连接到网络，但实际上是可以访问网页的。

至于为什么会自动打卡浏览器，以及网络显示需要登录，这是Windows的网络连接状态检测指示器（NSCI）使然。下面首先简要介绍一下Windows的NSCI机制，再探究为什么浏览器会自动打开以及点击登录至网络会跳转至垃圾网站。

网络连接状态指示器（Network Connectivity Status Indicator, NSCI）#

NCSI 的基本机制#

**NCSI（网络连接状态指示器）**通过主动与被动两种探测方式，判断当前是“已连接到互联网”“仅本地（无互联网）”还是“需要登录（强制门户）”等状态，并更新任务栏图标与网络分类，供 Windows 与其他组件使用。
主动探测： 向预定义的 HTTP 探测服务器发起请求，收到预期响应即判定为互联网可达。
被动探测： 观察入站流量，根据数据包的跃点数（hops）等被动信息，在满足条件时更新连接状态，避免频繁主动探测。

何时进行网络状态检测#

触发主动探测的典型事件： 接口或网络条件变化、代理检测/变更、热点检测/变更；当满足新的网络条件（如有线/无线/VPN 接口可用）时，即发送主动探测以刷新网络状态。
被动探测的时机与频率： 在组策略允许、用户已登录或近 30 秒内登录的前提下，被动探测约每 15 秒运行一次，可由注册表 PassivePollPeriod 调整。

如何判断该网络是否需要登录（强制门户/捕获门户）#

探测请求： NCSI 主动探测向预定义的 HTTP 探测地址发送请求（自 Win10 1607 起为 www.msftconnecttest.com/connecttest.txt）；DNS 探测目标为 dns.msftncsi.com。HTTP 预期响应是 200 OK，并在正文中包含“Microsoft Connect Test”。
“需要登录”的判定条件： 若主动探测未走已知代理且收到响应，但响应内容与预期不符（例如未返回“Microsoft Connect Test”），或收到非 200 的 HTTP 状态（如 302/304），则认为存在强制门户/热点，并可能将状态设置为本地/受限。
与强制门户的交互： 当检测到强制门户时，Windows 会据此触发浏览器打开门户页面，并反复进行探测，直到用户完成认证后探测通过。

探测结果与表现#

主动探测成功： 网络图标更新为“已连接（有互联网）”。
探测失败且未走代理： 状态可能被设为“本地”；若通过代理失败则可能设为“None”。
强制门户场景： 主动探测收到非预期内容/重定向，系统识别为受限网络，引导用户登录后再重试探测。

简要示意（流程）#

HTTP 200 & 内容“Microsoft Connect Test”

未走已知代理 & 收到响应

但内容不符或非200状态

认证后探测通过

其他失败（无响应/DNS/代理/路由等）

网络变化/接口可用/代理或热点变更

发送主动探测

HTTP GET connecttest.txt 等

状态：已连接到互联网

判定：强制门户/需要登录

系统打开门户页面

并周期性重试探测

状态：仅本地或无互联网

被动探测（约15秒周期）

观察流量/跃点数更新状态

HTTP 200 & 内容“Microsoft Connect Test”

未走已知代理 & 收到响应

但内容不符或非200状态

认证后探测通过

其他失败（无响应/DNS/代理/路由等）

网络变化/接口可用/代理或热点变更

发送主动探测

HTTP GET connecttest.txt 等

状态：已连接到互联网

判定：强制门户/需要登录

系统打开门户页面

并周期性重试探测

状态：仅本地或无互联网

被动探测（约15秒周期）

观察流量/跃点数更新状态

网络异常显示和自动打开分析#

由于NCSI是通过请求微软的网络测试域名 msftconnecttest.com来判断网络状态的，前面我们已经提到该域名已经被DNS误解析到了一个恶意ip，该ip的服务器利用了NCSI在此方面的漏洞：它返回302重定向请求，并且把location设为他指定的垃圾网站，这时NCSI发现返回的状态不是200，认为该网络需要进行登录验证，于是自动启动默认浏览器，并打开网址 http://www.msftconnecttest.com/redirect 试图让用户登录以连接至互联网。

重定向header

1
Cache-Control: no-store
2
Content-Length: 0
3
Location: https://ddf0718.yy6ma5q.cc
4
Date: Wed, 22 Jul 2026 08:07:59 GMT

但是此刻已经中招了，由于 location 指向的是一个恶意网址，所以浏览器会跳转至到那个垃圾网站。这时由于后台NCSI请求 http://www.msftconnecttest.com/connecttest.txt 一直返回重定向，Windows又会自动打开edge引导用户进行登录，然后又跳转至垃圾网站。这就是为什么浏览器会重复自动打开并且跳转至垃圾网站的原因。

攻击过程#

可能路径一

可能路径二

Wi-Fi重连、DNS/网关变化或NCSI重试

Windows发起NCSI探测

网络侧发生什么

DNS返回异常地址

112.121.185.202

透明代理截获明文HTTP

改写目的地址或注入响应

NCSI未获得预期响应

Windows显示“无Internet”或“需要登录”

系统或用户点击提示

调用默认浏览器Edge

GET http://www.msftconnecttest.com/redirect

异常服务器返回302

Location指向恶意HTTPS域名

Edge连接154.93.100.22

显示赌博/色情页面

可能路径一

可能路径二

Wi-Fi重连、DNS/网关变化或NCSI重试

Windows发起NCSI探测

网络侧发生什么

DNS返回异常地址

112.121.185.202

透明代理截获明文HTTP

改写目的地址或注入响应

NCSI未获得预期响应

Windows显示“无Internet”或“需要登录”

系统或用户点击提示

调用默认浏览器Edge

GET http://www.msftconnecttest.com/redirect

异常服务器返回302

Location指向恶意HTTPS域名

Edge连接154.93.100.22

显示赌博/色情页面

解决方案#

解决方案很简单，把电脑或者路由器的DNS解析服务配置为其他的公共DNS服务，详细做法如下：

Windows

1
设置
2
→ 网络和 Internet
3
→ Wi-Fi 或以太网
4
→ 当前网络/硬件属性
5
→ DNS 服务器分配
6
→ 编辑
7
→ 手动
8
→ 配置 IPv4/IPv6 DNS

也可以通过传统控制面板修改：

1
控制面板
2
→ 网络和 Internet
3
→ 网络和共享中心
4
→ 更改适配器设置
5
→ 当前网卡属性
6
→ Internet 协议版本 4（TCP/IPv4）
7
→ 手动填写 DNS 服务器

DNS配置修改

路由器配置和上述相似.

也可以修改为其他公共DNS服务，重要的是将DNS解析服务换为一个权威、真实的服务。

总结#

这是一起经典的 DNS欺骗攻击，攻击方攻破了移动的内部DNS服务器，将微软的网络测试域名绑定至一个恶意ip，利用了NCSI机制引导Windows进行跳转垃圾界面。

微软把NCSI设计为HTTP没有太大问题：用 HTTPS，很多强制门户会表现为 TLS 握手失败/证书错误，NCSI 很难区分这到底是“真的没网”“企业中间人/代理”，还是“只是需要登录”；而用 HTTP，大多数强制门户会直接给 302 重定向或返回非预期页面内容，NCSI 只要看返回内容是不是 “Microsoft Connect Test” 就能判断“是否需要登录”。使用 HTTP 是为了最大化兼容各类强制门户、简化状态判定逻辑、降低因证书/CA/代理带来的误判。

这次背锅的主要是移动移动，你搞砸了一切，DNS服务被攻破所以有了如此广泛的DNS欺骗问题。最重要的是移动的反应很慢，凌晨1<30初次发现问题>，到下午6点仍然没有修复，不知道如今是否已经修复。

参考#

KMP算法教程

Wed, 20 May 2026 00:00:00 GMT

KMP#

什么是KMP算法#

在传统字符串匹配算法中，我们总是使用暴力，不断从被匹配字符串中截取子串，将其与模式串进行匹配。但是这样做的时间复杂度比较高为 O(m×n)O(m\times n)O(m×n)，他会对每一个子串都进行遍历，在这个过程中，模式串往往会被遍历很多次。并且我们注意到：

虽然一个子串与模式串不匹配，但是已经遍历过的部分和模式串是相同的。

所以我们能否根据这个信息将模式串进行特殊处理，减少其遍历次数呢？

这正是KMP算法的核心解决思路。一个词在不匹配时本身就包含足够的信息来确定下一个匹配可能的开始位置，此算法利用这一特性以避免重新检查先前配对的字符。

核心思想#

在每次不匹配字符时，我们可以知道子串与模式串前几个字符是一样的，因此可以使用这个信息对模式串处理，记录每个位置的回退信息，也就是最长公共前后缀数组。

主逻辑#

先看算法的主逻辑python实现如下：

1
def kmp_search(m: str, p: str):
2
    next = get_next(p) # 获取next数组
3
    i = j = 0
4
    while i < len(m):
5
        if m[i] != p[j]: # 子串和模式串不匹配
6
            if j:
7
              j = next[j - 1]
8
            else:
9
                # 模式串指针回退至0仍然不匹配，说明当前子串和模式串第一个字符都不匹配。
10
                # 直接移动文本串指针到下一个子串开始位置
11
                i += 1
12
        else:       # 相匹配则继续
13
            i += 1
14
            j += 1
15
         if j == len(p):
16
            return i - j
17
      return -1

展开收起

很显然，算法的主逻辑和暴力解差距不是很大，但存在着关键区别：

kmp算法的文本串指针不会回退，由next数组在已遍历过的字符中寻找可用最长前缀，指针i只需要判断当前字符和模式串的指针j字符是否相同

最长公共前后缀#

首先明确什么是前缀和后缀：

前缀指从开头连续截取的子串，但不包含整个串本身。
后缀指从结尾连续截取的子串，但不包含整个串本身。

接下来就最核心的部分，next数组是什么？如何求next数组？

先看这样一个例子：

Note

模式串(pattern)：

ababcababcababc

文本串(text)：

abababcabababcabababc

当i=4&&j=4时，模式串字符为c而文本串字符为a，如果采用暴力匹配的方式我们会将j回退为0，i回退为1，然后重新开始匹配。

但是我们显然可以发现将i回退至1后重新匹配效率太差了，而将j回退至2却可以非常完美地契合前缀ab，这时比较pattern[2]处的字符就可以了，也就是i完全不需要回退，这就提高了效率。

那么如何让计算机像人一样能够得到最优的回退值呢？

重新思考一下我们观察的过程：

在i=4&&j=4时字符不匹配，期望获得j的回退值
可以看见已经匹配过的部分为abab，前缀ab和后缀ab是完全相等的，最长前后缀为2
联想到保留长度为2的公共前后缀，因此下一次从 pattern[2] 继续比较就可以完美匹配从索引2开始的子串ababc

不难发现我们利用了已经匹配过的字符串前后缀的关系。即匹配成功的子串abab的前缀有：a、ab、aba，后缀有b、ab、bab。子串后缀有与前缀完全相同的子串ab，而中间的其他字符完全不匹配，因此可以直接将模式串移动至与后缀ab对齐。

1
文本串:    a b a b a b c
2
模式串:    a b a b c
3
                  ↑ mismatch
4

5
已匹配:
6
a b a b
7

8
最长公共前后缀:
9
a b
10

11
移动后:
12

13
文本串:    a b a b a b c
14
模式串:        a b a b c

Important

对上面的逻辑进行总结：

当匹配子串和模式串不相同时，通过寻找已匹配字符串的最大公共前后缀确定模式串指针的回退值，进而优化整个匹配过程

现在问题变成了寻找最大公共前后缀。

仍然先看例子，模式串为ababcababcababc时:

a：无前后缀，将其回退值设置为0
ab：前缀:a，后缀：b。没有重复前后缀，回退值设置为0
aba：前缀:a、ab，后缀a、ba。有最大公共前后缀a，回退值设置为1
abab：前缀:a、ab、aba，后缀b、ab、bab。有最大公共前后缀ab，回退值设置为2
ababc：前缀:a、ab、aba、abab，后缀c、bc、abc、babc。没有最大公共前后缀，回退值设为0

next数组为[0,0,1,2,0]

我们编写一个简易的程序模拟一下这个过程：

1
def get_next(pattern: str) -> list:
2
    next=[0] * len(pattern)
3
    for i in range(1, len(pattern)): # 由于仅一个字符无前后缀，因此从第二个字符开始
4
        for j in range(1, i+ 1):     # 枚举从j至i的子串
5
            flag = True
6
            for x in range(j, i + 1):
7
                if pattern[x] != pattern[x - j]: # 存在字符未匹配成功，不满足前后缀的要求
8
                    flag = False
9
                    break
10
            if flag:                        # 匹配成功，更新最大前后缀
11
                next[i] = max(next[i], i - j + 1)
12
                break       # 从最大一一枚举的方式只要找到就必是最大前后缀
13
    return next

发现问题了吗，当出现不匹配的字符时这个程序会整体回退，时间复杂度很高为O(m3)O(m^3)O(m3)。

分析一下这个算法：

首字符不匹配时抛弃该子串，进入下一个子串的匹配，指针j+1j+1j+1
已经匹配了部分字符，但出现了未匹配字符进入下一个子串匹配，指针j+1j+1j+1
完全匹配，跳出内循环，指针i+1i+1i+1

很显然情况1和情况3是无法继续优化的，因为这是字符串匹配不能跳过的步骤，只能针对情况2进行优化。

注意到情况2中已经有部分匹配的字符了，后面的子串长度必然更小，且后续成功匹配的前后缀串必然位于已经成功匹配的串中，所以新的公共前后缀只能在这个已匹配区域内部继续寻找。就像下面的例子一样：

模式串：abcabdddabcabc

假设已经进行至前缀：abcabd，后缀：abcabc，最后一个字符不相同，但是前面的部分abcab是完全相同的，继续寻找下去，若存在完全匹配的前后缀，他必然位于abcab中，因为这是整个字符串的前缀，不可改变。

进一步说，继续缩小的前缀必然完全位于abcab中，且仅顺序截取字符，而后缀除去不匹配的字符，剩余的串也必然位于abcab中（因为这是模式串中除去最后一个字符的后缀，因为继续缩小，剩余的串长度必然缩小），也就是说我们只需要寻找串abcab的最长前后缀就可以找到j回退的最优值是多少，确保前缀和后缀已经有部分相等了，接下来只需要专注于未匹配成功的即可。如本例中，j回退至j-2即可，比较前缀abc和后缀abc，完全相同，找到最大前后缀。

但是我们注意到abcab既然是整个串的前缀，在顺序求next数组的过程中我们已经求过他的最长前后缀了，这是个可以直接利用的信息。按照这个思路上面的代码可以优化为如下代码：

1
def get_next(pattern: str) -> list:
2
    next = [0] * len(pattern)
3
    i, j= 1, 0
4
    while i < len(pattern):
5
        while j and pattern[i] != pattern[j]:
6
            j = next[j - 1]    # 不匹配进行回退，找到已经匹配部分的最长公共前后缀
7
        if pattern[i] == pattern[j]:  # 匹配则将指针右移一位
8
            j += 1
9
        next[i] = j
10
        i += 1
11

12
    return next

虽然代码中有两层循环，但内层循环中变量 j 每次都会减小，而 j 总共增加不超过 m 次，因此所有内层循环的总执行次数也是 O(m)，即时间复杂度为O(m)O(m)O(m).

最终版的kmp算法如下：

1
def get_next(pattern: str) -> list:
2
  n = len(pattern)
3
  next = [0] * n
4
  i, j = 1, 0
5
  while i < n:
6
    if j and pattern[i] != pattern[j]:
7
      j = next[j - 1]
8
    else:
9
      if pattern[i] == pattern[j]:
10
        j += 1
11
      next[i] = j
12
      i += 1
13
  return next
14

15

16
def kmp_search(text: str, pattern: str) -> int:
17
  next = get_next(pattern)
18
  i = j = 0
19
  while i < len(text):
20
    if text[i] != pattern[j]:
21
      if j:
22
        j = next[j - 1]
23
      else:
24
        i += 1
25
    else:
26
      j += 1
27
      i += 1
28
    if j >= len(pattern):
29
      return i - j
30
  return -1

展开收起

时间复杂度为O(m+n)O(m + n)O(m+n)，其中m为模式串的长度，n为文本串的长度。

进一步优化#

当模式串(pattern)有很多重复字符时如：aaab，我们得到的next数组为[0, 1, 2, 3, 0]。现在考虑这样的一个匹配串(text)：aacaaab。

令模式串的指针为j，匹配串的指针为i。

当i=2 && j=2时，显然pattern[2]=‘a’ 不等于 text[2]=‘c’，因此指针j进行回退，查next数组可知：j=next[j - 1]= 1，因此j回退至1。但是很明显pattern[1]!=text[2]，需要继续回退并且最终回退至0。

从中可以发现，连续相同字符回退值是以第一个出现的位置为基准的，因为当出现不匹配时可以断定前面已匹配成功的相同字符与模式串的当前字符必然不同，如上例所示”b” 必不可能与前面已经匹配成功的”aa”中字符相同。

因此在生成求next数组时可以考虑这种情况，将连续相同字符的全部置为第一个字符出现的next值。

1
def get_nextval(pattern: str) -> list:
2
    n = len(pattern)
3
    nextval = [0] * n
4
    i, j = 1, 0
5

6
    while i < n:
7
        if j == 0 or pattern[i] == pattern[j]:
8
            i += 1
9
            j += 1
10
            if i < n:       # 防止越界，因为 nextval 长度只有 n
11
                if pattern[i] != pattern[j]:
12
                    nextval[i] = j
13
                else:
14
                    nextval[i] = nextval[j]
15
        else:
16
            j = nextval[j]  # 不匹配时回退
17

18
    return nextval

展开收起

F&Q#

你也许发现了，为什么我们求的的next数组和严蔚敏老师的数据结构教材上的不一样？

Note

严版kmp算法实现：

1
void getNext(SString T, int next[]){
2
    int i = 1, j = 0;
3
    next[1] = 0;
4
    while(i < T.length){
5
        if(j == 0 || T.ch[i] == T.ch[j]){
6
            next[++i] = ++j;
7
        }else{
8
            j = next[j];
9
        }
10
    }
11
}
12

13
int indexKMP(SString S, SString T, int next[]){
14
    int i = 1, j = 1;
15
    while(i <= S.length && j <= T.length){
16
        if(j == 0 || S.ch[i] == T.ch[j]){
17
            i++;
18
            j++;
19
        }else{
20
            j = next[j];
21
        }
22
    }
23
    if(j > T.length)
24
        return i - T.length;
25
    else
26
        return 0;
27
}

展开收起

解释如下：

首先严老师的教材上next数组索引是从1开始的，而在本文（最普遍的kmp实现）中一般从索引0开始
把本文的 next 数组（即部分匹配表 PMT）整体右移一位，首位补 -1，然后所有元素 +1，就得到了严蔚敏教材中 1‑based 的 next 数组。例如 [0,0,1,2,0] → 右移补 -1 得到 [-1,0,0,1,2] → 全部 +1 得到 [0,1,1,2,3]，与严版一致。

准确来说，严版的是模式串指针j与文本串指针i不匹配时，指针j的应该回退的位置，即j=next[j]，失配后模式串下一步应该比较的位置。

在此文的版本中，由于索引从0开始，next数组存储的是最长前后缀的长度，这天然地表示了指针j应该回退的位置，但是由于是当前字符不匹配，所以需要回退的值是已经匹配成功的字符串的最长前后缀值，即j=next[j-1]，最长前后缀长度。

Important

严版和本文均是kmp算法的正确实现，不同在于严版为了方便回退将最长前后缀整体右移一个单位再整体加一，并且索引从1开始；在本文中索引从0开始，因此天然满足指针回退到的位置为最长公共前后缀的前缀最后一个字符结束的位置+1，故而不需要整体加一，并且由于没有整体右移，因此回退值为next[j-1]

符号链接

Mon, 11 May 2026 00:00:00 GMT

符号链接#

在使用Windows时，我们经常会遇到这样的情况：

Note

明明我已经把软件安装路径改到了其他盘，为什么 C 盘空间还是越来越少？

这是因为很多软件虽然主体安装在其他磁盘，但仍然会把以下内容默认存放在 C 盘用户目录中，例如：

用户配置文件
缓存文件
日志记录
自动更新组件
临时文件
下载资源包

随着使用时间增长，这些数据会不断累积，最终导致 C 盘空间被悄悄占满。

这时我们可以使用 符号链接（Symbolic Link，又名软链接） 在不破坏文件结构和路径的情况下将数据迁移至其他盘，从而确保C盘有足够的空间供系统运行。

什么是符号连接#

以下内容摘自维基百科：

符号链接（英语：Symbolic link），又称软链接，是一类特殊的文件，其包含有一条以绝对路径或者相对路径的形式指向其它文件或者目录的引用。一个符号链接文件仅包含有一个文本字符串，其被操作系统解释为一条指向另一个文件或者目录的路径。它是一个独立文件，其存在并不依赖于目标文件。如果删除一个符号链接，它指向的目标文件不受影响。

如何工作#

通过符号链接的特性我们可以将C盘中占用内存多的文件移动至可用内存更大的盘中，并建立符号链接指向他实际存储的位置。当我们创建了一个符号链接时，一个程序寻址的样例如下：

假设有符号链接：

1
C:\User\user\Appdata\Local\sample.txt
2
    ↓
3
D:\Appdata\sample.txt

那么程序寻址的过程为：

符号链接寻址过程示例

如何创建符号链接#

确保没有任何程序正在访问你要创建链接的文件，然后将文件复制进你想要放置的位置

Caution
建立符号链接前需要确保没有和链接名相同的文件

使用管理员权限打开cmd或者PowerShell，按照如下格式输入指令(以上述的样例为例):

cmd:

Terminal window

1
mklink "C:\User\user\Appdata\Local\sample.txt" "D:\Appdata\sample.txt"
2
# 如果是文件夹，则需要添加 "-D" 参数，样例如下
3
mklink -D "C:\User\user\Appdata\Local\sample" "D:\Appdata\sample"

如果没有任何输出则代表创建成功

PowerShell：

Terminal window

1
New-Item -ItemType SymbolicLink -Path "C:\Users\user\AppData\Local\sample.txt" -Target "D:\AppData\sample.txt"
2
# 或文件夹链接
3
New-Item -ItemType SymbolicLink -Path "C:\Users\user\AppData\Local\sample" -Target "D:\AppData\sample"

文件符号链接创建成功的输出如下（文件夹符号链接创建成功输出类似）：

Terminal window

1
Directory: C:\Users\user\AppData\Local
2

3
Mode                 LastWriteTime         Length Name
4
----                 -------------         ------ ----
5
la---           2026/5/11    20:40              0 sample.txt -> D:\AppData\sample.txt

检查创建的文件夹或文件图标是否出现了一个小箭头标识

链接成功示例

或者打开cmd或powershell并进入到当前目录，运行命令测试是否创建成功：

cmd:
Terminal window
```
1
dir
```
有一个展示实际存储位置的中括号([])出现（文件夹也是一样的）则表示创建成功。

PowerShell:
Terminal window
```
1
dir  # 或者: ls
```
有一个箭头指向实际存储位置（文件夹也是一样的）则表示创建成功

如何删除#

如果是符号链接文件，直接右键删除即可，这不会影响到源文件。

但如果要删除的是源文件，则需要确保没有链接指向这个文件后再进行删除，否则会导致链接失效。

Tip

如何查找哪些文件符号链接了这个文件:

使用管理员权限打开powershell，输入：

Terminal window

1
Get-ChildItem C:\ -Recurse -Force |
2
Where-Object {
3
 $_.LinkType -and $_.Target -eq "你要查找的源文件"
4
}

你也许发现了，这是通过遍历全部文件来进行查找，效率很低。但是事实就是如此，Windows 没有像 Linux 那样内置一个完美命令，可以瞬间反向查出所有符号链接引用某文件。 因为符号链接本质上是一个保存路径的特殊文件，系统不会维护全局“反向索引”。

所以最好不要多次链接引用，如果确实需要，请单独维护反向索引，确保每一个链接不会失联。

注意事项#

符号链接不是万能的，对于普通用户来说，也有以下风险：

风险1：链接失效（断链）： 如果目标文件被删除、移动或改名，符号链接仍然存在，但点开会提示找不到文件。
风险2：文件位置容易搞混： 看起来文件在 C 盘，实际上内容在 D 盘。时间久了容易忘记真实位置，清理磁盘或换盘时容易误删。
风险3：多个入口造成混乱： 同一个文件可能同时出现在多个地方（通过链接访问），修改一处会影响所有地方，容易误以为系统出问题。
风险4：软件不兼容： 某些老软件、游戏启动器、安装程序可能不认符号链接，导致打不开、更新失败、路径报错等问题。
风险5：备份/同步异常： 网盘、备份软件、同步工具可能只同步链接本身，或者重复同步真实文件，占空间又混乱。
风险6：迁移系统时容易丢数据： 重装系统或格式化 C 盘时，只看到链接文件被删除，却没意识到真实文件还在其他盘；反过来也可能误删真实数据。
风险7：目录循环导致异常： 如果文件夹之间互相链接，某些软件扫描文件时可能卡顿、重复扫描，甚至死循环。

虽然有以上风险，但是只要管理够好，便足以规避掉这些风险。符号链接依然是清理C盘文件过多的问题的强有效解决方案，还有一点值得注意：

Danger

不要迁移系统文件！！！！

apt自动更新踩坑实录

Sat, 21 Mar 2026 00:00:00 GMT

apt自动更新踩坑#

前几天检查vps运行状况时被堵外面了，从秘钥对到ip修改登录全尝试了发现都不行，突然记起有vnc救援登录，进去一看发现ssh服务挂了幸好有vnc，不然只能重装系统了。

寻找原因#

但是这个问题不应该发生呀，我明明已经运行了systemctl enable ssh让ssh服务开机自启，在没有其他干扰的情况下没理由会挂掉。猜想可能是黑客攻破了我的ssh，拿到了sudo用户组的权限并手动停止了ssh服务，因此检查ssh日志

Terminal window

1
sudo journalctl -u ssh | grep "Accepted"

1
Mar 08 23:33:10 sshd: Accepted publickey for ** from *.*.*.* port **

发现最新的登录行为是自己，检查docker容器以及其他的一些文件发现没有篡改过的痕迹，大致可以排除黑客入侵。但是到底是什么有这么大的权限能够让ssh停止服务，这个问题不找出来以后可能又会被锁外面。

因此再次检查ssh日志，找到ssh停止的时间点

Terminal window

1
# 查看谁停止了服务
2
sudo journalctl -u ssh | grep -i "stopping"

1
Jan 24 18:09:28 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
2
Jan 24 18:30:19 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
3
Jan 24 18:42:04 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
4
Jan 24 18:46:20 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
5
Jan 25 17:31:02 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
6
Jan 29 06:24:13 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
7
Feb 04 06:34:40 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
8
Mar 15 06:06:23 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...

最近的宕机时间是Mar 15 06:06:23，所以从找时间点附近开始排查，看看是谁的问题。

Terminal window

1
sudo journalctl --since "2026-03-15 06:00" --until "2026-03-15 06:10" | grep -i "ssh\|kill\|oom\|memory"

1
Mar 15 06:06:23 systemd[1]: Stopping ssh.service - OpenBSD Secure Shell server...
2
Mar 15 06:06:23 sshd[273849]: Received signal 15; terminating.
3
Mar 15 06:06:23 systemd[1]: ssh.service: Deactivated successfully.
4
Mar 15 06:06:23 systemd[1]: Stopped ssh.service - OpenBSD Secure Shell server.

这是系统kill ssh，印证了之前的推断：不是被攻击了。

确定了是系统终止了ssh服务，接下来继续查找，看看是系统运行的哪个程序执行了systemd stop ssh。

在Mar 15 06:06:23时间附近，发现在执行apt每日自动升级服务：

1
Mar 15 06:06:44 systemd[1]: apt-daily-upgrade.service: Consumed 41.064s CPU time, 415.0M memory peak, 0B memory swap peak.

因此有很大把握怀疑是apt自动更新ssh时，将其停止更新后却异常没有重新启动，由此去检查apt的更新日志：

1
Start-Date: 2026-03-15  06:06:23
2
Commandline: /usr/bin/unattended-upgrade
3
Upgrade: openssh-client:amd64 (1:9.6p1-3ubuntu13.14, 1:9.6p1-3ubuntu13.15), openssh-server:amd64 (1:9.6p1-3ubuntu13.14, 1:9.6p1-3ubuntu13.15), openssh-sftp-server:amd64 (1:9.6p1-3ubuntu13.14, 1:9.6p1-3ubuntu13.15)
4
End-Date: 2026-03-15  06:06:26

果然发现在06:06:23 - 26这个时间段里更新了openssh-client、 openssh-serve、openssh-sftp-server。已经破案了，apt终止了ssh，把门锁上了。

过程还原#

在06:06:23时，apt自动更新ssh。它拥有足够的权限将ssh停止，然后执行ssh的更新程序。但是不知道出于何种原因，在停掉过后没有触发重新启动机制，导致ssh彻底挂掉。

进一步分析ssh没有重启原因，在Ubuntu中通常是unattended-upgrade自动安装更新，而他会使用dpkg工具进行安装。因此检查unattended-upgrade-dpkg.log：

1
Log started: 2026-03-15  06:06:22
2
Preconfiguring packages ...
3
Preconfiguring packages ...
4
(Reading database ... ^M(Reading database ... 5%^M(Reading database ... 10%^M(Reading database ... 15%^M(Reading database .
5
.. 20%^M(Reading database ... 25%^M(Reading database ... 30%^M(Reading database ... 35%^M(Reading database ... 40%^M(Readin
6
g database ... 45%^M(Reading database ... 50%^M(Reading database ... 55%^M(Reading database ... 60%^M(Reading database ...
7
65%^M(Reading database ... 70%^M(Reading database ... 75%^M(Reading database ... 80%^M(Reading database ... 85%^M(Reading d
8
atabase ... 90%^M(Reading database ... 95%^M(Reading database ... 100%^M(Reading database ... 86180 files and directories c
9
urrently installed.)
10
Preparing to unpack .../openssh-sftp-server_1%3a9.6p1-3ubuntu13.15_amd64.deb ...
11
Unpacking openssh-sftp-server (1:9.6p1-3ubuntu13.15) over (1:9.6p1-3ubuntu13.14) ...
12
Preparing to unpack .../openssh-server_1%3a9.6p1-3ubuntu13.15_amd64.deb ...
13
Unpacking openssh-server (1:9.6p1-3ubuntu13.15) over (1:9.6p1-3ubuntu13.14) ...
14
Preparing to unpack .../openssh-client_1%3a9.6p1-3ubuntu13.15_amd64.deb ...
15
Unpacking openssh-client (1:9.6p1-3ubuntu13.15) over (1:9.6p1-3ubuntu13.14) ...
16
Setting up openssh-client (1:9.6p1-3ubuntu13.15) ...
17
Setting up openssh-sftp-server (1:9.6p1-3ubuntu13.15) ...
18
Setting up openssh-server (1:9.6p1-3ubuntu13.15) ...
19
Processing triggers for man-db (2.12.0-4build2) ...
20
Processing triggers for ufw (0.36.2-6) ...
21

22
Running kernel seems to be up-to-date.
23

24
Restarting services...
25

26
Service restarts being deferred:
27
 systemctl restart apt-daily-upgrade.service
28
 /etc/needrestart/restart.d/dbus.service
29
 systemctl restart docker.service
30
 systemctl restart getty@tty1.service
31
 systemctl restart networkd-dispatcher.service
32
 systemctl restart serial-getty@ttyS0.service
33
 systemctl restart systemd-logind.service
34
 systemctl restart unattended-upgrades.service
35

36
No containers need to be restarted.
37

38
No user sessions are running outdated binaries.

展开收起

注意到Service restarts being deferred这里，所有的服务将会延迟重启，但是最终没有重启，这就是导致最终ssh挂掉的原因。

解决方案#

unattended-upgrade启动安装更新后有needrestart来检查并提醒哪些服务或进程需要重启。因此可以修改needrestart代表配置，将ssh服务纳入白名单，不让他在更新过后重启。

修改/etc/needrestart/needrestart.conf配置文件，找到

1
$nrconf{override_rc} = {
2
...
3
}

在其中加入 qr(^ssh) => 0,即：

1
$nrconf{override_rc} = {
2
    qr(^ssh) => 0,
3
};

这里的0表示禁止自动重启匹配到的服务。这样处理后便可以让ssh自动更新后不重启。

Tip

但是为了安全起见，建议还是在更新过后手动重启ssh服务。

摇曳在心尖上的离别与重逢

Sat, 28 Feb 2026 00:00:00 GMT

自小时候起，便遍布着一场场离别与重逢。

小学朝别暮归，长大一些至初中时，周之余一天可至家中，再后来，一旬光阴仅不至一日，现在呢，一别即是半年。

等待之人，望着远游者，盼着他平平安安，健健康康，期待着下一次重逢。

远游之人，身披月纱，思绪纷飞，希冀着下一次归“家”之时，仍是家。

书上说，人生就是一场场折柳，有聚有散，山水有相逢，春风入卷来，终会重逢。可是岁岁年年花相似，年年岁岁人不同，今日之别，可有再见之时？重逢之际，故人依旧否？只怕归来之际小小的木质长板充当着沟壑，故事依旧，不见故人，乃至故事消散。

光阴给予我们成长，代价则是一场场不知是否任由重逢之日的离别，也带走了曾经唾手可得而今求而不得之物。

若能时光倒流，我情愿不要长大。

离群点检测——局部离群因子算法

Sun, 15 Feb 2026 00:00:00 GMT

介绍#

局部离群因子算法（Local Outlier Factor, LOF） 是一种基于密度比的方法，用于检测数据中的离群点。与以往的离群点检测算法不同，该算法从局部角度考虑，通过密度比来判断数据点是否为离群点。核心思路为： 在规定了局部区域后，离群点区域的密度与周围区域的密度有着较大的差别，因此，通过计算待检测点区域密度与周围区域密度的比值，即可判断该点是否为离群点，如下图：

离群点可视化图

可以明显看出，点B周围的密度较点A周围的密度显著较低，且距离点群较远，因此可以判断点B为离群点（异常点）。在实际应用中离群点的局部密度也显著低于邻居的局部密度，根据这个特性，我们可以判断一个点是否为离群点。

前置知识#

KNN——K邻近算法#

KNN（K Nearest Neighbors） 是一个监督学习分类算法，可以用于分类，也可以用于回归。具体思路为：

确地k值——找距离待检测点最近k个邻居点，k值不同，最终得到的结果也不同
确定距离计算方法，常用的有：

前置背景
设点A(x1,x2,x3,……,xn)A(x_1,x_2,x_3,……,x_n)A(x1,x2,x3,……,xn)，点B(y1,y2,y3,……,yn)B(y_1,y_2,y_3,……,y_n)B(y1,y2,y3,……,yn)
1. 欧氏距离(Euclidean Distance)：dab=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2d_{ab} = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots +(x_n-y_n)^2}dab=(x1−y1)2+(x2−y2)2+⋯+(xn−yn)2
  
  最常用的距离度量，表示两点之间的直线距离。适用于连续数值型特征，但对特征尺度敏感。
2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)：dab=∣x1−y1∣+∣x2−y2∣+⋯+∣xn−yn∣d_{ab} = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| + \cdots + |x_n-y_n|dab=∣x1−y1∣+∣x2−y2∣+⋯+∣xn−yn∣
  
  也称为城市街区距离，计算各维度绝对差值的和。在高维空间中比欧氏距离更稳定。
3. 切比雪夫距离(Chebyshev Distance)：dab=max⁡i∣xi−yi∣d_{ab} = \max\limits_i |x_i - y_i|dab=imax∣xi−yi∣
  
  定义为各维度坐标差的最大值。常用于棋盘问题，相当于国际象棋中王的移动距离。
4. 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)：dab=(∑i=1n∣xi−yi∣p)1pd_{ab} = (\sum\limits_{i=1}^n |x_i - y_i|^p)^{\frac{1}{p}}dab=(i=1∑n∣xi−yi∣p)p1
  
  这是一个距离度量的一般形式：
  - 当 p=1p=1p=1 时，退化为曼哈顿距离
  - 当 p=2p=2p=2 时，退化为欧氏距离
  - 当 p→∞p \to \inftyp→∞ 时，趋近于切比雪夫距离
5. 余弦相似度(Cosine Similarity)：cos⁡(θ)=∑i=1nxiyi∑i=1nxi2∑i=1nyi2\cos(\theta) = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n y_i^2}}cos(θ)=i=1∑nxi2i=1∑nyi2i=1∑nxiyi
  
  衡量两个向量方向的相似度，而非距离大小。常用于文本分析和推荐系统。
选择建议
- 特征连续且尺度一致：优先考虑欧氏距离
- 特征稀疏或高维：余弦相似度或曼哈顿距离效果更好
- 对异常值敏感：曼哈顿距离比欧氏距离更鲁棒
- 数据需要标准化：使用距离度量前，建议对特征进行归一化或标准化处理
这里由于数据集是简单的二维点集，故使用欧式距离作为距离计算的方法。
计算找到待检测点的K邻近点，然后根据这些邻近点完成想要的操作如预测类别。这里只使用这些邻近点来计算密度

第K距离（K-Distance）#

对于数据集中的任意点P，将其到所有其他数据点的距离按升序排列：

d(1)≤d(2)≤⋯≤d(k)≤⋯≤d(n)d_{(1)} \leq d_{(2)} \leq \cdots \leq d_{(k)} \leq \cdots \leq d_{(n)}d(1)≤d(2)≤⋯≤d(k)≤⋯≤d(n)

则第k个距离值d(k)d_{(k)}d(k)称为点P的第k距离，记作k_distance(P)k\_distance(P)k_distance(P)。也就是以P为圆心，k_distance(P)k\_distance(P)k_distance(P)为半径画圆，圆内恰好包含k个点（含边界上的点）。

例子：#

假设有点P，其他点按到P的距离排序为：[1.2, 1.5, 1.8, 2.3, 2.7, 3.1, …]

当k=3时：

第1近邻：距离1.2 <- 第1距离
第2近邻：距离1.5 <- 第2距离
第3近邻：距离1.8 <- 第3距离
第5近邻：距离2.7 <- 第5距离

相应的，第k距离也就是第k近邻点距离点P的距离。

第K邻域（K-Distance Neighborhood）#

任取一点P，距离点P的距离小于等于第k距离的所有点的集合，即为第K邻域，记作Nk(P)N_k(P)Nk(P)。使用数学表示如下：

Nk(P)={Q∈D∖{P}∣d(P,Q)≤k_distance(P)}N_k(P)=\{Q \in D \setminus \{P\} \mid d(P,Q) \leq k\_distance(P)\}Nk(P)={Q∈D∖{P}∣d(P,Q)≤k_distance(P)}

其中：

D代表整个数据集
D∖{P}D \setminus \{P\}D∖{P}表示集合D去除子集{P}后的集合，也就是D−(D∩{P})D - (D \cap \{P\})D−(D∩{P})
k_diatance(P)k\_diatance(P)k_diatance(P)表示点P的第k距离
d(P,Q)d(P,Q)d(P,Q)表示P和Q的距离

用图表示：

第K邻域可视化

可达距离（Reachability Distance）#

设点O为待检测点，点P为O的第K邻域内的点，则点O与点P的可达距离为：

reach−distk(P,O)=max⁡(k−distance(P),d(P,O))reach-dist_k(P,O) = \max(k-distance(P),d(P,O))reach−distk(P,O)=max(k−distance(P),d(P,O))

也就是点 O 到 P 的距离与点 P 的第 k 距离中的较大值。

算法原理#

局部可达密度（Local Reachability Density)#

和平常的密度计算方式相似，局部可达密度（LRD）的计算公式为：

LRDk(P)=∣Nk(P)∣∑O∈Nk(P)reach−distk(P,O)LRD_k(P) = \frac {\left | N_k(P) \right | }{\sum_{O\in N_k(P)}{reach-dist_k(P,O)}}LRDk(P)=∑O∈Nk(P)reach−distk(P,O)∣Nk(P)∣

其中：

Nk(P)N_k(P)Nk(P)为点P的第k邻域，∣Nk(P)∣\left | N_k(P) \right |∣Nk(P)∣表示邻域内的邻居数量
reach−distk(P,Q)reach-dist_k(P,Q)reach−distk(P,Q)为点P与Q的可达距离

局部利群因子（Local Outlier Factor）#

这是LOF算法最重要的部分，整个算法根据此值来判离群点。思想为：

Info

利群点的局部可达密度一定与正常点的局部可达密度有差异，因此可以通过计算待检测点的第k邻域内的点的局部可达密度与待检测点局部可达密度密度的比值来判断待检测点是否是离群点。

为了确保没有偶然性，计算待检测点第k邻域内的全部点的局部可达密度与待检测点局部可达密度的比值，然后取其平均值做为最终的检测标准，可以在较大程度上鉴别离群点。

LOF利群点检测

注意

注意，此图仅供教学使用，虚线圆圈出的范围不代表第k邻域，这里只是为了表示方便以让读者真切感受到基于密度的局部利群因子判断离群点的效果。真实的第k邻域如下：

LOF真实第k邻域示意图

如上图所示，通过局部可达密度可以很好的找出离群点，局部异常因子的计算方式如下：

LOFk(P)=∑O∈Nk(P)LRDk(O)LRDk(P)∣Nk(P)∣LOF_k(P) = \frac {\sum_{O \in N_k(P)}{\frac {LRD_k(O)}{LRD_k(P)}}}{\left | N_k(P) \right |}LOFk(P)=∣Nk(P)∣∑O∈Nk(P)LRDk(P)LRDk(O)

其中：

P为待检测点，O为点P的第k邻域的点
Nk(P)N_k(P)Nk(P)为点P的第k邻域，∣Nk(P)∣\left | N_k(P) \right |∣Nk(P)∣表示邻域内的邻居数量

通常认为，LOFk(P)LOF_k(P)LOFk(P)这个比值越大于1，表明p点的密度越小于其周围点的密度，p点越可能是离群点；这个比值越小于1，表明p点的密度越大于其周围点的密度，p点越可能是正常点。

算法流程#

1. 确定超参k值#

k值对于LOF非常重要，当 k 较小时，LOF 的局部密度估计不稳定，对噪声敏感，容易导致正常点被误判为离群点；当 k 较大时，局部信息被削弱，异常点可能被周围正常点淹没，从而难以被检测出来。

通常对于中小数据来说，k值在10~20左右较为合理，在此之后，随着数据量地增多以及维度的增大，k值需要适度增大，与此同时可以使用多个k值或者k值区间进行测试，选取效果最好，最稳定的即可。

2. 计算可达密度#

首先使用KNN找到待检测点的第k邻域，然后计算待检测点的可达密度。

对于待检测点第k邻域内的所有点也做和待检测点相同的处理，先找到第k邻域，然后计算可达密度。

3. 计算局部离群因子#

通过LOF的计算公式：

LOFk(P)=(∣Nk(P)∣∑O∈Nk(P)LRDk(O)LRDk(P))−1LOF_k(P) = \left ( \frac {\left | N_k(P) \right |}{\sum_{O \in N_k(P)}{\frac {LRD_k(O)}{LRD_k(P)}}} \right ) ^ {-1}LOFk(P)=∑O∈Nk(P)LRDk(P)LRDk(O)∣Nk(P)∣−1

计算待检测点的局部离群因子，然后根据经验，一般来说LOF显著大于1时，认为其为离群点。

Python实现代码#

手动实现#

借助numpy可以使用向量化高效地编写

1
import numpy as np
2

3

4
class LOF:
5
    """
6
    Local Outlier Factor (LOF)
7
    """
8

9
    def __init__(self, k=10):
10
        self.k = k
11
        self.lof_scores_ = None
12
        self.labels_ = None
13

14
    def _compute_distance_matrix(self, X):
15
        """
16
        计算欧式距离矩阵
17
        """
18
        sum_X = np.sum(X ** 2, axis=1)
19
        # 使用完全平方公式开
20
        sq_dists = sum_X[:, np.newaxis] + sum_X - 2 * np.dot(X, X.T)
21
        dist_matrix = np.sqrt(np.maximum(sq_dists, 0)) # 避免浮点数的精度误差导致负数出现
22
        return dist_matrix
23

24
    def _get_k_neighbors(self, dist_matrix):
25
        """
26
        获取k邻域
27
        """
28
        # 填充对角线，避免自己成为自己的邻居
29
        np.fill_diagonal(dist_matrix, np.inf)
30
        # 对每行进行排序，获取前k个邻居的索引
31
        sorted_indices = np.argsort(dist_matrix, axis=1)
32
        knn_indices = sorted_indices[:, :self.k]
33
        # 获取第 k 个邻居的距离 (k-distance)
34
        k_distances = dist_matrix[np.arange(dist_matrix.shape[0]), knn_indices[:, -1]]
35

36
        return knn_indices, k_distances
37

38
    def _compute_reachability_distance(self, dist_matrix, knn_indices, k_distance):
39
        """
40
        计算可达距离
41
        """
42
        # 获取每个点到其k个邻居的真实欧式距离
43
        # dist_matrix shape: (n, n), knn_indices shape: (n, k)
44
        # result shape: (n, k)
45
        dist_to_neighbors = np.take_along_axis(dist_matrix, knn_indices, axis=1)
46

47
        # 获取每个邻居点的 k-distance
48
        # k_distance shape: (n,), knn_indices shape: (n, k)
49
        # 我们需要查找 knn_indices 中每个索引对应的 k_distance
50
        # result shape: (n, k)
51
        k_dist_of_neighbors = k_distance[knn_indices]
52

53
        # 计算可达距离: max(k_distance(neighbor), distance(i, neighbor))
54
        reach_dist = np.maximum(k_dist_of_neighbors, dist_to_neighbors)
55

56
        return reach_dist
57

58
    def _compute_lrd(self, reach_dist):
59
        """
60
        计算局部可达密度 (Vectorized)
61
        """
62
        # 加上小常数防止除以0
63
        lrd = 1.0 / (np.mean(reach_dist, axis=1) + 1e-10)
64
        return lrd
65

66
    def _compute_lof(self, lrd, knn_indices):
67
        """
68
        计算LOF值
69
        LOF(A) = avg(LRD(neighbors) / LRD(A))
70
        """
71
        # 获取每个点邻域内所有点的 LRD
72
        # lrd shape: (n,), knn_indices shape: (n, k)
73
        # result shape: (n, k)
74
        lrd_neighbors = lrd[knn_indices]
75

76
        # 将邻居的 LRD 除以 自身的 LRD
77
        # 利用广播机制: (n, k) / (n, 1)
78
        lrd_ratios = lrd_neighbors / lrd[:, np.newaxis]
79

80
        # 求平均值得到 LOF
81
        lof = np.mean(lrd_ratios, axis=1)
82
        return lof
83

84
    def fit(self, X):
85
        """
86
        训练模型
87
        """
88
        X = np.array(X)
89
        n_samples = X.shape[0]
90
        if self.k >= n_samples:
91
            raise ValueError(f"k ({self.k}) must be smaller than the number of samples ({n_samples}).")
92

93
        # 距离矩阵
94
        dist_matrix = self._compute_distance_matrix(X)
95
        # k邻域及第k距离
96
        knn_indices, k_distance = self._get_k_neighbors(dist_matrix)
97
        # 可达距离
98
        reach_dist = self._compute_reachability_distance(
99
            dist_matrix,
100
            knn_indices,
101
            k_distance
102
        )
103

104
        # LRD
105
        self.lrd_ = self._compute_lrd(reach_dist)
106
        # LOF
107
        self.lof_scores_ = self._compute_lof(self.lrd_, knn_indices)
108

109
        return self
110

111
    def fit_predict(self, X, threshold=1.5):
112
        """
113
        训练并预测，默认LOF分数大于1.5的点被认为是离群点
114
        """
115
        self.fit(X)
116

117
        # 初始化标签，1为正常，-1为异常
118
        labels = np.ones(len(self.lof_scores_))
119
        labels[self.lof_scores_ > threshold] = -1
120

121
        self.labels_ = labels
122
        return labels

展开收起

sklearn API#

1
from sklearn.neighbors import LocalOutlierFactor
2

3
lof = LocalOutlierFactor(n_neighbors=10)
4
sklearn_labels = lof.fit_predict(X)

两者对比#

测试代码:

1
if __name__ == '__main__':
2
    import matplotlib.pyplot as plt
3

4
    np.random.seed(0)
5
    # 正常数据
6
    normal = np.random.normal(0, 1, (200, 2))
7
    # 异常数据
8
    outliers = np.random.uniform(-6, 6, (20, 2))
9
    X = np.vstack([normal, outliers])
10

11
    model = LOF(k=10)
12
    labels = model.fit_predict(X)
13
    print(f"手动实现的LOF预测LOF分数前10：{model.lof_scores_[:10]}")
14

15
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels)
16
    plt.title("Manually LOF Outlier Detection")
17
    plt.show()
18

19
    from sklearn.neighbors import LocalOutlierFactor
20
    lof = LocalOutlierFactor(n_neighbors=10)
21
    sklearn_labels = lof.fit_predict(X)
22
    print(f"Sklearn LOF预测前10：{lof.negative_outlier_factor_[:10]}")
23
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=sklearn_labels)
24
    plt.title("Sklearn LOF Outlier Detection")
25
    plt.show()

展开收起

运行结果：

手动实现LOF

sklearn API

运行结果：

1
手动实现的LOF预测LOF分数前10：[1.21976091 1.52021709 1.45510191 0.99129674 0.96082814 1.07181726
2
 0.95758032 1.03500003 1.34157547 1.04033416]
3

4
Sklearn LOF预测前10：[-1.21976091 -1.52021709 -1.45510191 -0.99129674 -0.96082814 -1.07181726
5
 -0.95758032 -1.03500003 -1.34157547 -1.04033416]

Note

Sklearn使用的是−LOF-LOF−LOF值，为了和直觉一直（分数越低异常程度越高）而取LOFLOFLOF的相反数

常见疑问及解答（Q&A）#

问：为什么要引入可达距离，直接使用距离不行吗？

答：不行。假设检测异常点P且有极少数点非常非常靠近点P，这时如果采用直接距离，局部可达密度（LRD）的计算公式会变为
LRDk(P)=∣Nk(P)∣∑O∈Nk(P)d(P,O)LRD_k(P) = \frac {\left | N_k(P) \right | }{\sum_{O\in N_k(P)}d(P,O)}LRDk(P)=∑O∈Nk(P)d(P,O)∣Nk(P)∣
易知 LRDk(P)LRD_k(P)LRDk(P)会异常变大，进而导致LOFk(P)LOF_k(P)LOFk(P)会变的非常非常接近0，而根据我们规定的判别条件，此时认为点P是正常点，但实际上P为异常点，这就产生了错误。这种情况称为密度爆炸，如下图（点P为异常点，为方便起见已只绘制点P及其k邻域）所示：

密度爆炸

从图中可以看除有两三个点及其接近点P，而其余点距离点P较远，因此∑O∈Nk(P)d(O,P)\sum_{O \in N_k(P)}{d(O,P)}∑O∈Nk(P)d(O,P)会被少数及其接近点P的点拉小，从而影响最终的检测结果。

而使用可达距离正是为了解决这个问题，我们规定最小的距离为distancek(P)distance_k(P)distancek(P)，从而保证了∑O∈Nk(P)reach−distk(P,O)\sum_{O\in N_k(P)}{reach-dist_k(P,O)}∑O∈Nk(P)reach−distk(P,O)不会异常偏小，进而保证了最终检验结果的准确性及正确性。

缺点#

对k值（邻居数）非常敏感
计算复杂度太高，时间复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)，这在较大规模数据集中无法接受
高维数据效果差：距离趋于相似且局部密度难以区分