线性代数知识点串联

行列式#

定义#

n 阶行列式是有 $n^2$ 个元素 $a_{ij}$ 所决定的一个数.

性质#

转置不变性: 行列式中行列互换(转置)，其值不变.
行列式中两行(列)对换，其值变号.
行列式中某 行(列) 元素有公因子 k，可将公因子 k 提到行列式外.
行列式中，如果有一行(列)的两个元素都是两个数之和，那么该行列式可以拆成两个行列式的和.
行列式的倍加: 在行列式中，把某行(列)各元素分别乘任意常数 $k$ ，再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变.

Important

$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}$ 一般来说不等于 $\begin{vmatrix}A + B\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}$

计算#

n 阶行列式 $D$ 等于它的任意一行的元素与其对应代数余子式乘积之和。

D = \sum_{k = 1}^{n}a_{ik}A_{ik} \\ D = \sum_{k = 1}^{n}a_{ki}A_{ki}

Note

仅 三阶及以下 的行列式适用对角线法则.
若一行(列)元素为 0, 则行列式的值为 0.
行列式的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为 0

注意：行列式是以行（列）为单位，而矩阵是以整体，即提公因子 k 时需要整体包含

常见行列式计算#

主对角行列式：

\begin{vmatrix} a_{11} & & \\ & a_{22} & \\ & & \ddots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

主对角线上（下）三角行列式：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

副对角行列式：（此公式易错）

\begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2, n-1} & \\ & \ddots & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2, n-1}\cdots a_{n1}

副对角线上（下）三角行列式：（此公式易错）

\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} & \\ \vdots & \ddots & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2, n-1} & a_{2n} \\ & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2, n-1}\cdots a_{n1}

$n$ 阶范德蒙德 (Vandermonde) 行列式：

D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\le i < j\le n} \left(x_j - x_i\right)

常用计算技巧#

行和 / 列和相等：若各行（列）元素和相同，可把各列（行）都加到某一列（行），提出公因子后出现大量 0，常能简化。
爪形 / 三对角行列式：通常用“斜爪消平爪”或递推法，将某一行（列）倍加到其他行（列），化为三角行列式。
递推法：对 $n$ 阶行列式按第一行（列）展开，寻找 $D_n$ 与 $D_{n-1},D_{n-2}$ 的关系。
加边法：不改变行列式值的常用恒等变形是
$D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & & & \\ \vdots & & A_n & \\ 0 & & & \end{vmatrix},$
即“加一行一列且不改变行列式值”，加边后再通过行变换消元，常用于“除对角线外元素相同”的行列式。
范德蒙德识别：若行列式的第 $i$ 行（列）呈现 $1,x_i,x_i^2,\cdots$ 的形式，可直接套公式；不是标准形式时可通过提取公因子、换行换列化为标准形式。

Tip

计算前先观察：有没有零元素多的行/列、有没有行和相等、能不能拆项。盲目展开往往计算量最大。

矩阵#

定义#

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的矩形表格

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

称为一个 $m\times n$ 矩阵，简记为 $A$ 或 $(a_{ij})_{m\times n}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)$ 。当 $m=n$ 时，称 $A$ 为 $n$ 阶方阵。

运算#

相等: $A=(a_{ij})_{m\times n}=B=(b_{ij})_{s\times k} \iff m=s,\ n=k$ ，且 $a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)$ ，即 $A,B$ 是同型矩阵，且对应元素相等。 $(a_{11}=b_{11},\ a_{12}=b_{12},\cdots)$
加法: 两个矩阵是同型矩阵时，可以相加，即

C = A+B =(a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=(c_{ij})_{m\times n},

其中， $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n)$ ，即对应元素相加。

数乘矩阵: 设 $k$ 是一个数， $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵。数 $k$ 和 $A$ 的乘积称为数乘矩阵，即

kA = Ak = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} =(ka_{ij})_{m\times n},

即 $A$ 的每个元素都乘以 $k$ 。

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算，满足下列运算规律：

① 交换律 $A+B=B+A$ ；

② 结合律 $(A+B)+C=A+(B+C)$ ；

③ 分配律 $k(A+B)=kA+kB,\ (k+l)A=kA+lA$ ；

④ 数和矩阵相乘的结合律 $k(lA)=(kl)A=l(kA)$ 。

矩阵的乘法: 设 $A$ 是 $m\times s$ 矩阵， $B$ 是 $s\times n$ 矩阵（矩阵 $A$ 的列数必须与矩阵 $B$ 的行数相等），则 $A,B$ 可以相乘，乘积 $AB$ 是 $m\times n$ 矩阵，记 $C=AB=(c_{ij})_{m\times n}$ 。 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行的 $s$ 个元素与 $B$ 的第 $j$ 列的 $s$ 个对应元素两两乘积之和，即

c_{ij}=\sum_{k = 1}^{s}a_{ik}b_{kj}\quad(i = 1,2,\cdots, m;\ j = 1,2,\cdots, n).

矩阵乘法运算规律：

① 数乘结合律： $\displaystyle k(AB)=(kA)B=A(kB)$ ，其中 $k$ 是数。

② 结合律： $\displaystyle (AB)C=A(BC)$

③ 分配律： $\displaystyle A(B+C)=AB+AC,\quad (B+C)A=BA+CA$

Warning

矩阵乘法

一般不满足交换律：(AB \boldsymbol{\ne} BA).
不能随意消去矩阵：(AB = AC \nRightarrow B = C).
由矩阵 $AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$

转置矩阵及伴随矩阵#

转置矩阵运算律#

$\displaystyle \left(A^\mathrm{T}\right)^\mathrm{T} = A$
$\displaystyle (kA)^\mathrm{T} = kA^\mathrm{T}$ （ $k$ 为任意常数）
$\displaystyle (A+B)^\mathrm{T} = A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T}$
$\displaystyle (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}$
$\displaystyle \left(A_1A_2\cdots A_k\right)^\mathrm{T} = A_k^\mathrm{T}\cdots A_2^\mathrm{T}A_1^\mathrm{T}$

反对称矩阵#

若 $a_{ij}=-a_{ji}\ (i,j=1,2,\dots,n)$ ，也即 $\boldsymbol{A=-A^\mathrm{T}}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 为反对称矩阵。

重要推论

反对称矩阵主对角线元素满足 $a_{ii}=-a_{ii}$ ，故 $\boldsymbol{a_{ii}=0}$ ，主对角线上元素全为 0.

对奇数阶反对称矩阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 来说，必有 $|A|=0$ 。证明： $|A|=|A^\mathrm{T}|=|-A|=(-1)^n|A|=-|A|$ ，故 $|A|=0$ .

任意一个 n 阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.

伴随矩阵#

设 $n$ 阶方阵

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix},

记行列式 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式为 $A_{ij}$ ，则称

A^*= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{bmatrix}

为矩阵 $A$ 的 伴随矩阵。

Note

相关公式：

$AA^*= A^*A= \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}E$
$\begin{vmatrix}A^*\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} ^{n-1}$
$\begin{pmatrix}AB\end{pmatrix}^* = B^*A^*$
$(A^T)^* = (A^*)^T$

注意： 一般来说 $(A+B）^* \ne A^* + B^*$ , 但二阶及以下是一定成立的

逆矩阵#

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $AB=BA=E$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则称 $A$ 是可逆的，并将 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$ 。

补充：

若 $A$ 可逆, 则 $A$ 的逆矩阵是唯一的
若 $A,B$ 都是 n 阶矩阵, 且 $AB=E$ , 则 $BA=E$ , 即 $A, B$ 皆可逆, 且 $A,B$ 互为逆矩阵
$A$ 可逆的 充要条件 是 $\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\ne 0$

性质及重要公式#

(1) $\boldsymbol{(A^{-1})^{-1} = A}$

(2) 若 $k \neq 0$ ，则 $\boldsymbol{(kA)^{-1} = \dfrac{1}{k}A^{-1}}$

(3) $\boldsymbol{AB}$ 也可逆，且 $\boldsymbol{(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}}$

(4) $\boldsymbol{A^T}$ 也可逆，且 $\boldsymbol{(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T}$

(5) $\boldsymbol{|A^{-1}| = |A|^{-1} = \dfrac{1}{|A|}}$

(6) $A^{-1}= \frac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}} A^*$

注意: 一般来说在实数域上 $(A + B)^{-1} \ne A^{-1} + B^{-1}$

初等变换#

(1). 倍乘: 一个非零常数乘矩阵的某一行(列)

(2). 互换: 互换矩阵中两行(列)的位置

(3). 倍加: 将矩阵的某一行(列)的 K 倍加到另一行(列)

初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵.

Important

初等行变换不改变列向量组的线性相关性，同样的，初等列变换不改变行向量组的线性相关性。

性质及重要公式#

初等矩阵的转置仍是初等矩阵.
初等矩阵都是可逆矩阵, 其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵.
若 $A$ 是可逆矩阵，则 $A$ 可以表示成有限个初等矩阵的乘积.
设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次 初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次 初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵。
对任意一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，总存在行最简形矩阵 $U$ 和 $m$ 阶初等矩阵 $P_1,P_2,\dots,P_s$ ，使得

P_s \cdots P_2 P_1 A = U .

对任意 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，必可找到 $m$ 阶初等矩阵 $P_1,P_2,\dots,P_s$ 及 $n$ 阶初等矩阵 $Q_1,Q_2,\dots,Q_t$ ，使得

P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = E_{m \times n}^{(r)},

矩阵等价#

定义: 如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$ （通常默认 $A,B$ 同型），就称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价。记作 $A \cong B$

矩阵的秩#

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，若存在 $k$ 阶子式不为零，而任意 $k+1$ 阶子式（如果有的话）全为零，则 $r(A)=k$ ，且若 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，则

r(A_{n \times n})= n \iff |A| \neq 0 \iff A\text{可逆}.

换言之，若矩阵 $A$ 存在 $k$ 个线性无关的行（列）向量，任意 $k+1$ 个向量线性相关，则 $r(A)=k$ 。

重要式子:

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则

① $0 \le r(A) \le \min\{m,n\}$ （由定义）； $r(A)=0 \iff A=O$

② $r(kA)=r(A)\ (k \neq 0)$ （由定义）；

$\boldsymbol{\star}$ ③ $r(AB) \le \min\{r(A),r(B)\}$ ；

$\boldsymbol{\star}$ ④ $r(A+B) \le r(A)+r(B)$ ；

$\boldsymbol{\star}$ ⑤

r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)= n,\\ 1, & r(A)= n-1,\\ 0, & r(A)< n-1, \end{cases}

其中 $A$ 为 $n(n\ge2)$ 阶方阵.

⑥ 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $P,Q$ 分别是 $m$ 阶、 $n$ 阶可逆矩阵，则

r(A)= r(PA)= r(AQ)= r(PAQ)

$\boldsymbol{\star}$ ⑦ 若 $\boldsymbol{A_{m \times n}B_{n \times s}=O}$ ，则 $\boldsymbol{r(A)+r(B) \le n}$ ；

$\boldsymbol{\star}$ ⑧ $\boldsymbol{r(A)=r(A^\mathrm{T})=r(A^\mathrm{T}A)=r(AA^\mathrm{T})}$ 。

Tip

求秩/用秩解题要点

优先用初等行变换化行阶梯形，非零行数即秩；不要混用列变换（除非只求秩且注意对向量组意义）。
看到 $AB=O$ 立即想 $r(A)+r(B)\le n$ ；看到 $A$ 为 $n$ 阶方阵且 $A^2=A$ 或 $A^2=E$ ，可联想特征值只可能是 $0/1$ 或 $\pm1$ 以及可对角化。
$r(A)=n-1$ 时， $A^*\ne O$ 且 $AA^*=O$ ，故 $A^*$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解，可用于反求 $A$ 或 $A^*$ 。

线性方程组#

(i) 线性方程组 $Ax=b$ 有解的充要条件 是增广矩阵 $(A,b)$ 的最后一个非零行不是形如 $(0,\dots,0,d),\ d \neq 0$ 。

(ii) 若线性方程组 $Ax=b$ 有解，则方程组有 唯一解的充要条件 是 $(A,b)$ 中非零行的行数与未知量的个数相同，都等于 $n$ （ $n$ 指未知量个数，也即矩阵 $A$ 的列数），此时没有自由变量。

(iii) 若线性方程组 $Ax=b$ 有解，则方程组 有无穷多解的充要条件 是 $(A,b)$ 中非零行的行数严格小于未知量的个数，即严格小于 $n$ （ $n$ 指未知量个数，也即矩阵 $A$ 的列数）。此时如果 $(A,b)$ 中有 $r$ 个非零行，则在方程组的通解中就含有 $n-r$ 个自由变量。

补充等价秩表述（方便做题）：设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，增广矩阵 $\overline{A}=(A,b)$

$Ax=b$ 有解 $\iff r(A)=r(\overline{A})$
$Ax=b$ 有唯一解 $\iff r(A)=r(\overline{A})=n$
$Ax=b$ 有无穷多解 $\iff r(A)=r(\overline{A})<n$
$Ax=b$ 无解 $\iff r(A)<r(\overline{A})$

向量#

线性运算的性质#

(1) $0\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$

(2) $(k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}$

(3) $k(l\boldsymbol{\alpha})=(kl)\boldsymbol{\alpha}$

(4) $k(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}$

(5) $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}$

(6) $(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})$

内积与模#

向量内积定义#

设 $\boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\dots,a_n)^\mathrm{T},\boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2,\dots,b_n)^\mathrm{T}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积为

(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta} =(a_1, a_2,\dots, a_n)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n.

向量内积的性质#

① $(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})$

② $(k\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=k(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})$

③ $(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})$

④ $(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}\ge 0$ ，且 $(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}=0 \iff \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$

其中 $k$ 是数， $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}$ 均为 $n$ 维向量。

柯西不等式：

|(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})|\le \sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}\sqrt{(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta})}.

向量的模、单位向量#

向量的模(范数)：

\|\boldsymbol{\alpha}\|=\sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}.

若 $\|\boldsymbol{\alpha}\|=1$ ，称 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 单位向量。

向量模的性质：

① 非负性： $\|\boldsymbol{\alpha}\|\ge 0$ ； $\|\boldsymbol{\alpha}\|=0 \iff \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$ 。

② 齐次性： $\|k\boldsymbol{\alpha}\|=|k|\,\|\boldsymbol{\alpha}\|$ 。

③ 三角不等式: $\|\boldsymbol{\alpha + \beta}\|\le\|\boldsymbol{\alpha}\| + \|\boldsymbol{\beta } \|$

向量的夹角、正交向量#

若 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 均不为 $\boldsymbol{0}$ ，则它们的夹角定义为

\arccos\frac{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})}{\sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})}\sqrt{(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta})}}.

若 $(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=0$ ，则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 正交，记为 $\boldsymbol{\alpha}\perp\boldsymbol{\beta}$ 。

线性相关与线性无关#

如果有 不全为零 的数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ ，使

k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \boldsymbol{0},

称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关；

反之，如果只有在

k_1 = k_2 = \cdots = k_s = 0

时上式才成立，就称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关。

$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关的 充分必要条件 是它所构成的矩阵 $A=[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s]$ 的秩小于向量个数 $s$ ，即 $r(A)<s$ ；而 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关的充分必要条件则是 $r(A)=s$ 。

Note

单个向量与某一向量组的关系:

$\beta$ 可以由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表示 $\iff$ 非齐次线性方程组

(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s \end{pmatrix}=\beta

有解

\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)= r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta).

$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表示 $\iff$ 非齐次线性方程组

(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s \end{pmatrix}=\beta

无解

\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)< r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)

\iff r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta)= r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)+1.

判断向量组的线性相关性:

将问题转化为该向量组形成的矩阵，进而将该矩阵的秩与该向量组中向量的个数进行比较：

若秩的大小等于向量的个数，则线性无关；
若小于向量的个数，则线性相关。

特别地，当向量组的个数与维数相同时，可以利用行列式判断线性相关性。

判断线性相关性的常用结论#

（1）向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\ge2)$ 线性相关 $\iff$ 其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\ge2)$ 线性无关 $\iff$ 其中任一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表示。

（2）包含零向量的向量组线性相关，单个非零向量线性无关；两个成比例的向量线性相关，两个不成比例的向量线性无关。

（3） $n$ 维向量组 $A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性相关 $\iff |A|=0$ ； $n$ 维向量组 $A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性无关 $\iff |A|\ne0$ 。向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。

（4）部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关；整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关 如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的某部分向量组成的向量组线性相关，则向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关；如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，则其任一部分向量组成的向量组都线性无关.

（5）原相关 $\Rightarrow$ 缩短相关，原无关 $\Rightarrow$ 延长无关 在 $n$ 维向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的各向量上添加 $m$ 个分量变成 $n+m$ 维向量 $\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\cdots,\tilde{\alpha}_s$ . 如果 $\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\cdots,\tilde{\alpha}_s$ （延长组）线性相关，那么 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ （原向量组）也线性相关；如果 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ （原向量组）线性无关，那么 $\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\cdots,\tilde{\alpha}_s$ （延长组）也线性无关.

（6）设 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ 为 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 和 $\alpha_1',\alpha_2',\cdots,\alpha_s'$ 为两向量组，其中 $\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})^\mathrm{T},\ \alpha_i'=(a_{ip_1},a_{ip_2},\cdots,a_{ip_n})^\mathrm{T},$ 即 $\alpha_1',\alpha_2',\cdots,\alpha_s'$ 是对 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 各分量顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。

拓展：初等行变换不改变列向量组的线性相关性；初等列变换不改变行向量组的线性相关性。

（7）设向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关，而向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s,\alpha$ 线性相关，则 $\alpha$ 能由向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性表示，且表示式是唯一的。

（8）以少表多，多必相关 设向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表示且 $t>s$ ，那么 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性相关。其等价命题：如果向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表示，且 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性无关，那么 $t\le s$ 。

Tip

证明线性无关的常用思路

定义法：设 $k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$ ，通过题目条件（如两边同乘 $A$ 、同取内积、同乘某个可逆矩阵）推出 $k_i$ 全为 0。
秩法：把向量拼成矩阵，证明秩等于向量个数。
反证法：假设相关，则存在一个向量可由其余向量表示，再与已知的“无关/正交/特征值不同”等条件矛盾。
若要证明“不同特征值的特征向量线性无关”，可用数学归纳法或 Vandermonde 行列式，见特征值部分。

Tip

证明向量组等价的常用思路

若 $\mathrm{(I)}$ 可由 $\mathrm{(II)}$ 表示且 $r(\mathrm I)=r(\mathrm II)$ ，则两向量组等价。
等价于“三秩相同”： $r(\mathrm I)=r(\mathrm II)=r(\mathrm I,\mathrm II)$ 。
注意：矩阵等价只看秩，向量组等价还要求能互相线性表示（张成同一子空间）。

极大线性无关组#

设有向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ ，如果在其中能选出 $r$ 个向量 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 满足：（1）向量组 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 线性无关；（2）向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 中每个向量均能被 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 线性表示，

则称向量组 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 是向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。

Note

只含有零向量的向量组，没有极大线性无关组，规定它的秩为 0

判断极大线性无关组#

看是否满足下列三点：

是否部分组
是否线性无关
个数是否满足要求

极大线性无关组一般不唯一

向量组等价#

如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 中每个向量都可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性表示，就称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性表示；如果 两个向量组互相可以线性表示，就称它们等价。向量组等价具有 反身性、对称性、传递性，其中传递性需要引起重视。

向量组等价的常用判据#

（1）若向量组 $(\text{I})$ 与向量组 $(\text{II})$ 可 相互线性表示，则 $(\text{I})$ 与 $(\text{II})$ 等价。

（2）若向量组 $(\text{I})$ 可由向量组 $(\text{II})$ 线性表示，且 $r(\text{I})=r(\text{II})$ ，则向量组 $(\text{I})$ 与向量组 $(\text{II})$ 等价。

（3）若 $r(\text{I})=r(\text{II})=r(\text{I},\text{II})$ （三秩相同），则向量组 $(\text{I})$ 与向量组 $(\text{II})$ 等价。

向量组等价的常用性质#

（1）向量组与其任一极大线性无关组等价。

（2）向量组的 任意两个极大线性无关组等价。

（3）等价向量组的极大线性无关组等价。

（4）等价向量组的秩相等。（相反，秩相等的两个向量组不一定等价）

两个向量组等价，向量的个数不一定相同

与矩阵等价的区分#

Important

矩阵等价是数值型等价，只看秩.

向量组等价是几何型等价，要看张成的子空间.

基础解系与解的结构#

设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 都是 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解，则解的线性组合

k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s

也是 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解， $k_1,k_2,\cdots,k_s$ 是任意常数。

基础解系#

若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}$ 满足下列三条：（1）是解： $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}$ 均是齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解向量；（2）无关： $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}$ 线性无关；（3）个数满足要求： $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}$ 向量个数为 $n-r(A)$ ，

则称 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的 基础解系。基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组。

定理：齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于 $n-r(A)$ 。

通解#

如果 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系，则称

\boldsymbol{x}= k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_{n-r}\boldsymbol{\alpha}_{n-r}

为 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的通解，其中 $k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 是任意常数。

Note

快速求解的方法:

首先将系数矩阵变化为行最简型，然后根据口诀:

自由赋值定基准,

主元反算顺势跟

举例:

假设我们已经求得矩阵 A 的行最简形:

A = \begin{bmatrix} 1& 0& 1& 1& 3\\ 0& 1& 0& 0& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix}

可知: $r(A) = 2$ , 故自由变量有 $n - r(A) = 5-2 = 3$ 个

\xi_1 = \begin{pmatrix} -1& 0& 1& 0& 0 \end{pmatrix}^T \\ \xi_2 = \begin{pmatrix} -1& 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}^T \\ \xi_3 = \begin{pmatrix} -3& 2& 0& 0& 1 \end{pmatrix}^T

非齐次线性方程组#

对于非齐次线性方程组 $Ax=B$ 有无穷多解时，我们只需求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得 $Ax=B$ 的全部解。

非齐次线性方程组（有解时）至多有 $s+1$ 个线性无关解，其中 $s = n-r(A)$ ；若 $b\neq 0$ ，这个上界可以达到。注意：若 $r(A)=n$ （唯一解），则 $s+1=1$ ，并没有 $s+1\ge2$ ；只有无穷多解（ $s\ge1$ ）时才有 $s+1\ge2$ 。

向量空间#

若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $n$ 维向量空间 $\mathbf{R}^n$ 中的线性无关的有序向量组，则任一向量 $\boldsymbol{\alpha}\in\mathbf{R}^n$ 均可由 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 线性表示，即 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 可以张成这个 $n$ 维空间 $\mathbf{R}^n$ ，记为

\boldsymbol{\alpha}= a_1\boldsymbol{\xi}_1+a_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+a_n\boldsymbol{\xi}_n,

称有序向量组 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的一个基，基向量的个数 $n$ 称为向量空间的维数，而 $[a_1,a_2,\cdots,a_n]$ （ $[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T$ ）称为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 下的坐标，或称为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的坐标行（列）向量。

Note

向量空间的基相当于一个向量组的极大线性无关组，向量空间的维数相当于向量组的秩
向量空间的任意两组基是等价的

过渡矩阵#

若 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 和 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中的两个基，且有关系

[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n] =[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n] \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} =[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{C}, \tag{*}

\begin{cases} \boldsymbol{\eta}_1 = c_{11}\boldsymbol{\xi}_1+c_{21}\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+c_{n1}\boldsymbol{\xi}_n,\quad [c_{11}, c_{21},\cdots, c_{n1}] 为\boldsymbol{\eta}_1 在\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n 下的坐标\\ \boldsymbol{\eta}_2 = c_{12}\boldsymbol{\xi}_1+c_{22}\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+c_{n2}\boldsymbol{\xi}_n,\quad [c_{12}, c_{22},\cdots, c_{n2}] 为\boldsymbol{\eta}_2 在\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n 下的坐标\\ \quad\cdots\cdots \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\cdots\cdots\\ \boldsymbol{\eta}_n = c_{1n}\boldsymbol{\xi}_1+c_{2n}\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+c_{nn}\boldsymbol{\xi}_n,\quad [c_{1n}, c_{2n},\cdots, c_{nn}] 为\boldsymbol{\eta}_n 在\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n 下的坐标 \end{cases}

则 $(*)$ 式称为由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的基变换公式，矩阵 $\boldsymbol{C}$ 称为由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的过渡矩阵， $\boldsymbol{C}$ 的第 $i$ 列即是 $\boldsymbol{\eta}_i$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 下的坐标，且 过渡矩阵 $\boldsymbol{C}$ 是可逆矩阵。

基座标变换#

设 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 和基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 下的坐标分别是 $\boldsymbol{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{y}=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^\mathrm{T}$ ，即

\boldsymbol{\alpha}=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{x}=[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n]\boldsymbol{y}.

又由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{C}$ ，即

[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n]=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{C},

则

\boldsymbol{\alpha}=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{x}=[\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n]\boldsymbol{y}=[\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n]\boldsymbol{C}\boldsymbol{y},

得

\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{y} \quad \text{或} \quad \boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{x}. \tag{**}

$(**)$ 式称为坐标变换公式。

施密特正交化#

1）正交化

\begin{aligned} \boldsymbol{\beta}_1 &= \boldsymbol{x}_1,\\ \boldsymbol{\beta}_2 &= \boldsymbol{x}_2 - \frac{(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1,\\ \boldsymbol{\beta}_3 &= \boldsymbol{x}_3 - \frac{(\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1 - \frac{(\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_2)}\boldsymbol{\beta}_2,\\ &\vdots\\ \boldsymbol{\beta}_k &= \boldsymbol{x}_k - \sum_{i = 1}^{k-1}\frac{(\boldsymbol{x}_k,\boldsymbol{\beta}_i)}{(\boldsymbol{\beta}_i,\boldsymbol{\beta}_i)}\boldsymbol{\beta}_i,\quad k = 1,2,\dots, n \end{aligned}

2）单位化

\boldsymbol{\gamma}_1 = \frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|}\boldsymbol{\beta}_1,\quad \boldsymbol{\gamma}_2 = \frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|}\boldsymbol{\beta}_2,\quad \cdots,\quad \boldsymbol{\gamma}_n = \frac{1}{\|\boldsymbol{\beta}_n\|}\boldsymbol{\beta}_n

矩阵相似理论#

特征值与特征向量#

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在数 $\lambda$ 和非零的 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ ，使得

\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}

成立，就称 $\lambda$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{x}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

Note

特征值问题仅针对方阵, 非方阵无此概念.

特征向量必须是非零向量( $x\ne 0$ )，但特征值可以是实数 0.

求解特征值与特征向量#

上述定义式 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}$ 是特征值和特征多项式满足的基本条件，移项可得

(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}

上式实际上是一个含 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的齐次线性方程组 $Bx=0$ ，其系数矩阵 $B$ 为 $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 。特征向量 $\boldsymbol{x}$ 可看成上述齐次线性方程组的一个非零解，因此 $B=\lambda E-A$ 必定奇异（不可逆），即 $r(\lambda E-A)<n$ ，等价于:

\begin{vmatrix} \lambda E - A \end{vmatrix} = 0

上式称为 $A$ 的特征方程，由此可以求解特征值 $\lambda$ ，再代回 $(\lambda E-A)x=0$ 求特征向量.

Important

$n$ 阶矩阵 $A$ 在复数范围内计重数共有 $n$ 个特征值；特征向量（非零）通常有无穷多个，但线性无关的特征向量不一定有 $n$ 个。

通常情况下，我们可以通过试根法来获得特征值, 下面是一个定理，可以帮助试根:

设

f(x)=1\cdot x^k + a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0

是系数 $a_i\,(i=0,1,2,\dots,k-1)$ 都是整数的多项式，则 $f(x)=0$ 的有理根都是整数，且均是 $a_0$ 的因子。

一般性方法

(1) 求解特征方程 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0$ ，在复数范围内计重数得到 $n$ 个根，这 $n$ 个根就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值。根的重数 $k$ 称为代数重数（所有代数重数加起来必等于方程阶数 $n$ ）。

(2) 将各个特征值依次代入特征矩阵，求出齐次线性方程组 $(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系，就得到矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各个特征值对应的全部特征向量。对于某个特征值 $\lambda$ ，齐次方程组 $(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 所对应的基础解系有 $p$ 个线性无关的向量，称 $p$ 为几何重数（ $p\ge1$ ）。

性质及重要结论#

（1）特征值之积等于矩阵的行列式: $\begin{vmatrix} A\end{vmatrix} = \lambda_1\lambda_2...\lambda_n$

（2）特征值之和为矩阵的迹: $tr(A) = \lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n$

（3）不同特征值对应的特征向量必线性无关: 若 $\xi_1, \xi_2$ 是A的属于不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量, 则 $\xi_1, \xi_2$ 线性无关

Note

证明：不同特征值的特征向量线性无关。 设 $A\xi_i=\lambda_i\xi_i\ (i=1,\dots,m)$ ， $\lambda_i$ 两两不同。若 $k_1\xi_1+\cdots+k_m\xi_m=0,$ 两边左乘 $A$ 得 $k_1\lambda_1\xi_1+\cdots+k_m\lambda_m\xi_m=0$ 。两式消去 $\xi_m$ 后，可归纳出 $k_1=\cdots=k_m=0$ 。也可写成 Vandermonde 形式： $\sum_i k_i(\lambda_i^j\xi_i)=0$ ，由 $\xi_i$ 的线性无关性与 Vandermonde 行列式非零得 $k_i=0$ 。

(4) 若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于同一特征值 $\lambda$ 的特征向量，则非零向量 $k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2$ 仍是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。（常考其中一个系数（如 $k_2$ ）等于 $0$ 的情形）

(5) 若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于不同特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 的特征向量，则当 $k_1 \neq 0,k_2 \neq 0$ 时， $k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的任何特征值的特征向量。（常考 $k_1 = k_2 = 1$ 的情形）

矩阵	$\boldsymbol{A}$	$k\boldsymbol{A}$	$\boldsymbol{A}^k$	$f(\boldsymbol{A})$	$\boldsymbol{A}^{-1}$	$\boldsymbol{A}^*$	$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$
特征值	$\lambda$	$k\lambda$	$\lambda^k$	$f(\lambda)$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{	\boldsymbol{A}
对应的特征向量	$\boldsymbol{\xi}$	$\boldsymbol{\xi}$	$\boldsymbol{\xi}$	$\boldsymbol{\xi}$	$\boldsymbol{\xi}$	$\boldsymbol{\xi}$	$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\xi}$

Warning

上表中 $A^{-1}$ 一列要求 $A$ 可逆（ $\lambda\neq0$ ）； $A^*$ 一列在 $A$ 可逆时特征值为 $|A|/\lambda$ 。若 $A$ 不可逆， $A^*$ 的特征值需单独讨论，不能直接套用 $|A|/\lambda$ 。

秩为1的矩阵相关结论#

(1) $\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha}=l$ ，都是同一个数。

(2) 此时， $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2=l\boldsymbol{A}$ ，从而可得 $\boldsymbol{A}^m=l^{m-1}\boldsymbol{A}$ 。

(3) $\boldsymbol{A}$ 的特征值为：

\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}),\underbrace{0,0,\cdots,0}_{(n-1)\text{个}}\begin{cases} \text{若}\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})\neq 0,\ \text{则}\ \boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda}\\[4pt] \text{若}\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=0,\ \text{且}\ n\ge2,\ \boldsymbol{A}\ne O,\ \text{则}\ \boldsymbol{A}\not\sim \boldsymbol{\Lambda} \end{cases}

矩阵相似#

设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{B}$ ，或称 $\boldsymbol{A}$ 经过了一个相似变换得到了 $\boldsymbol{B}$ ，记为 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ 。

常用必要条件#

\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B} \Rightarrow \begin{cases} |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}| \begin{cases} \lambda_{\boldsymbol{A}}=\lambda_{\boldsymbol{B}}\\ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|\\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{B}) \end{cases}\\[8pt] r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})\\[4pt] r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}) \end{cases}

常用性质#

（1）传递性：若 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{C}$ ， $\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$

（2）若 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ ，则 $k\boldsymbol{A}\sim k\boldsymbol{B}$ ， $\boldsymbol{A}^m \sim \boldsymbol{B}^m$ ， $f(\boldsymbol{A})\sim f(\boldsymbol{B})$ ，其中 $f(\boldsymbol{A})=a_n\boldsymbol{A}^n+\cdots+a_1\boldsymbol{A}^1+a_0\boldsymbol{E}$ ， $f(\boldsymbol{B})=a_n\boldsymbol{B}^n+\cdots+a_1\boldsymbol{B}^1+a_0\boldsymbol{E}$ 。

（3）若 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ ，还可推得 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\sim \boldsymbol{B}^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{A}^*\sim \boldsymbol{B}^*$ 。

（4）若 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ ，且 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^{-1}\sim \boldsymbol{B}^{-1},f(\boldsymbol{A}^{-1})\sim f(\boldsymbol{B}^{-1}),\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ 。

（5）若 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{C}$ ， $\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{D}$ ，则 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D} \end{pmatrix}$ 。

（6） $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|$ 。

（7） $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$ 。

（8） $\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{B})$ 。

（9） $\lambda_{\boldsymbol{A}}=\lambda_{\boldsymbol{B}}$ （或 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|$ ）。

（10） $r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=r(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B})$ 。

（11） $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 的各阶主子式之和分别相等。

判断矩阵相似#

主要靠定义或相似的传递性。常用性质只是必要条件，用于快速判断“不相似”；即使所有必要条件都满足，也不一定相似。要判定“相似”通常需要找可逆矩阵 $P$ ，或利用“有相同的特征多项式且均可对角化（或相同的 Jordan 结构）”。

Important

乘积的相似性，不携带任何关于A和B自身特征值总和的信息。

构造反例的核心思路: 让两个矩阵在迹或特征值上明显不同，但同时满足选项中的奇怪条件(如伴随相等，特征值相等，可交换)

矩阵的相似对角化#

设 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_i = \lambda_i \boldsymbol{\alpha}_i \ (i=1,2,\dots,n)$ ，则

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n) =(\lambda_1\boldsymbol{\alpha}_1,\lambda_2\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\lambda_n\boldsymbol{\alpha}_n) =(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}.

当 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关时，记 $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)$ ，则 $\boldsymbol{P}$ 可逆，记

\boldsymbol{\Lambda}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix},

故 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}$ ，即 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ，称 $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，记作 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda}$ 。

可相似对角化的条件#

（1）（充要条件）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda} \iff \boldsymbol{A}$ 恰有 $n$ 个线性无关的特征向量。该条性质也可等价表示为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 每个特征值的几何重数等于代数重数。

（2）（充分条件）若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必相似于对角矩阵。

若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必相似于对角矩阵。(实对称矩阵一定存在N个两两正交的实特征向量。)

若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必相似于对角矩阵。

若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必相似于对角矩阵。

最后两条要证明才能使用

Note

简要证明 $A^2=A$ 与 $A^2=E$ 可对角化。

若 $A^2=A$ ，特征值满足 $\lambda^2=\lambda$ ，故 $\lambda=0$ 或 $1$ 。由 $A^2-A=O$ 可推出 $r(A)+r(E-A)=n$ ，从而 $0$ 的几何重数 $=n-r(A)$ 、 $1$ 的几何重数 $=r(A)$ ，两者分别等于代数重数，故可对角化。
若 $A^2=E$ ，特征值满足 $\lambda^2=1$ ，故 $\lambda=1$ 或 $-1$ 。同理可由 $r(E-A)+r(E+A)=n$ 得到几何重数等于代数重数，故可对角化。

（3）（必要条件）若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{\Lambda}$ ，则

\begin{cases} |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{\Lambda}|\\ \mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Lambda})\\ r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{\Lambda}) \end{cases}.

一般求解步骤#

（1）求出 $\boldsymbol{A}$ 的所有的特征值 $\lambda_1、\lambda_2\cdots\lambda_n$ ，其中互不相等的特征值为 $\lambda_{p1},\lambda_{p2},\cdots,\lambda_{pr}(r\le n)$ 。

（2）若 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，则** $k$ 重特征值 $\lambda$ 必对应 $k$ 个线性无关的特征向量**，求出每一个齐次方程组 $(\lambda_{pi}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(i=1,2,\cdots,r)$ 的基础解系，合并后必可得到 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{x}_1、\boldsymbol{x}_2\cdots\boldsymbol{x}_n$ 。

（3）令 $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n)$ ， $\boldsymbol{\Lambda}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$ ，则 $\boldsymbol{P}$ 可逆，且有 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}$ 。一定要注意这里 $\boldsymbol{P}$ 的每一列 $\boldsymbol{x}_j(j=1,2,\cdots,n)$ 的排序应与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 中对应的 $\lambda_j(j=1,2,\cdots,n)$ 的排序相同！

Note

P没有唯一性

实对称矩阵相似对角化#

正交矩阵#

（1）定义若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足** $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}=\boldsymbol{E}$ **，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵。

（2）性质

\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{E} \Rightarrow \begin{cases} |\boldsymbol{Q}|=\pm 1\\ \boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\\ \boldsymbol{Q}\text{ 由规范正交基组成} \end{cases} \quad \begin{cases} \boldsymbol{Q}^\mathrm{T}、\boldsymbol{Q}^*、\boldsymbol{Q}^{-1}\text{也是正交阵}\\ \text{若干个同阶正交阵相乘仍是正交阵}\\ \text{实特征值为 }1\text{ 或 }-1\text{；复特征值的模为 }1 \end{cases}

实对称矩阵的性质#

（1） $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个实的特征值，也必有 $n$ 个线性无关的特征向量，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的几何重数等于代数重数。

（2）实对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量必是正交的，即 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时，有 $(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=\boldsymbol{x}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{x}_2=0$ 。

Note

证明实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。 设 $Ax_1=\lambda_1x_1,\ Ax_2=\lambda_2x_2$ ， $\lambda_1\neq\lambda_2$ 。由实对称性，

\lambda_1(x_1,x_2)=(Ax_1,x_2)=(Ax_1)^\mathrm{T}x_2=x_1^\mathrm{T}A^\mathrm{T}x_2=x_1^\mathrm{T}Ax_2=\lambda_2(x_1,x_2).

故 $(\lambda_1-\lambda_2)(x_1,x_2)=0$ ，因 $\lambda_1\neq\lambda_2$ ，得 $(x_1,x_2)=0$ 。

（3） $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不但可以相似对角化，还能正交相似对角化，也即存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得

\boldsymbol{Q}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}

$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值。

实对称矩阵正交对角化的一般步骤#

(1) 求出实对称矩阵 $A$ 的所有的特征值 $\lambda_1、\lambda_2\cdots\lambda_n$ ，其中互不相等的特征值为 $\lambda_{p_1}、\lambda_{p_2}\cdots\lambda_{p_r}$ 。

(2) 求出每一个齐次方程组 $(\lambda_{p_l}E-A)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(l=1,2,\cdots,r)$ 的基础解系，合并后必可得到 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{x}_1、\boldsymbol{x}_2\cdots\boldsymbol{x}_n$ ，再将 $\boldsymbol{x}_1、\boldsymbol{x}_2\cdots\boldsymbol{x}_n$ 先正交化再单位化，得到 $\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\cdots,\boldsymbol{\gamma}_n$ 。

(3) 令 $Q=(\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\cdots,\boldsymbol{\gamma}_n)$ ， $\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$ ，则 $Q$ 可逆，且有 $Q^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\Lambda$ 。

(4) 实际操作时，由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对同一特征值对应的多个特征向量做施密特正交化再单位化；若某一特征值只对应一个特征向量，直接单位化即可。

Note

因为不同特征值的特征向量必然正交，所以只需要将相同特征值对应的特征向量正交化。

二次型#

含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的二次实齐次多项式

\begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n \\ &\quad + a_{22}x_2^2 + \cdots + 2a_{2n}x_2x_n \\ &\quad + \cdots \\ &\quad + a_{nn}x_n^2 \tag{①} \end{align*}

称为 $n$ 元二次型，简称二次型。

当 $j>i$ 时，取 $a_{ji}=a_{ij}$ ，则 $2a_{ij}x_ix_j = a_{ij}x_ix_j + a_{ji}x_jx_i$ ，于是①式可写成

\begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= a_{11}x_1^2 + a_{12}x_1x_2 + \cdots + a_{1n}x_1x_n \\ &\quad + a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{2n}x_2x_n \\ &\quad + \cdots \\ &\quad + a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 \tag{②} \end{align*}

可简记为 $\displaystyle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$ ，其中 $a_{ji}=a_{ij},\ 1\le i,j\le n$ 。

进一步，利用矩阵，②式可表示为

\begin{align*} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= x_1(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)+x_2(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x_n)+\cdots+x_n(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n) \\ &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n \end{pmatrix} \\ &=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &\quad \xlongequal{\text{记作}} \boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x} \end{align*}

其中，矩阵 $A$ 为实对称矩阵 $(A=A^\mathrm{T})$ 。此时矩阵 $A$ 唯一，称 $A$ 为该二次型的矩阵。实对称矩阵 $A$ 的秩称为实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$ 的秩。

Note

二次型是一个数

遇到不对称的二次型矩阵需要先转化为对称的

可逆线性变换与矩阵合同#

可逆线性变换#

设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^\mathrm{T}$ ， $C=(c_{ij})_{n\times n}$ 可逆，则称坐标变换（ $C$ 可逆）

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\quad(\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y})

为由 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 到 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 的可逆（满秩）线性变换。如果 $C$ 是正交矩阵，那么此时也称为正交变换。

矩阵合同#

设有两个 $n$ 阶矩阵 $A,B$ ，如果存在一个可逆 $n$ 阶矩阵 $C$ ，使

C^\mathrm{T}AC = B

则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，记为 $A \simeq B$ 。

Note

二次型做可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y}$ 时：

f=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x} =(C\boldsymbol{y})^\mathrm{T}A(C\boldsymbol{y}) =\boldsymbol{y}^\mathrm{T}(C^\mathrm{T}AC)\boldsymbol{y} =\boldsymbol{y}^\mathrm{T}B\boldsymbol{y}

新二次型矩阵 $B=C^\mathrm{T}AC$ ，即前后两个二次型的矩阵合同。

合同的性质#

①反身性： $A$ 与自身合同，显然 $E^\mathrm{T}AE=A$ ；

②**对称性：**若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $B$ 与 $A$ 合同；

③**传递性：**若 $A$ 与 $B$ 合同， $B$ 与 $D$ 合同，则 $A$ 与 $D$ 合同；

④特别地，若 $C$ 为正交矩阵，且满足 $C^\mathrm{T}AC=B$ ，则 $A$ 与 $B$ 既合同，又相似；

⑤矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，则 $A$ 与 $B$ 的秩相等，正负惯性指数均相等。

二次型的标准型和规范型#

只含平方项而不含混合项的二次型称为标准形，即 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\dots+d_nx_n^2.$

如果上述标准形中的系数 $d_i\ (i=1,\dots,n)$ 均为 $1$ 或 $-1$ 或 $0$ ，则称其为规范形。规范形是一种特殊的标准形。

二次型化为标准型#

Important

★定理1 任何二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$ 均可通过配方法(作可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y}$ )化成标准形及规范形， $A$ 合同于对角矩阵

用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 $A$ ，必存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^\mathrm{T}AC=\varLambda$ ，其中

★定理2 任何二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$ 也可以通过正交变换 $\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$ 化成标准形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 $A$ ，一定存在正交矩阵 $Q$ ，使得

Q^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\varLambda \\ Q^\mathrm{T}=Q^{-1}

当 $Q$ 为正交矩阵时， $A$ 和 $\varLambda$ 的合同与 $A$ 和 $\varLambda$ 的相似是一回事。

$Q$ 一定是由 $A$ 的特征向量拼成的，

正交矩阵 $Q$ 不是唯一的

一般而言，有两种常用的方法将二次型化为标准形:

（1）正交变换任一 $n$ 元实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$ 都可以经过一个正交变换 $\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$ 化为标准形，即化为：

\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2

其中， $\lambda_1、\lambda_2、\cdots、\lambda_n$ 恰为二次型 $f$ 的矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值。

这是因为 $Q^{-1}AQ=\varLambda$ ，而 $Q$ 为正交矩阵，满足 $Q^{-1}=Q^\mathrm{T}$ ，故有 $Q^{-1}AQ=Q^\mathrm{T}AQ=\varLambda$ 。

因此，有

f=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x} \xrightarrow{\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}} (Q\boldsymbol{y})^\mathrm{T}A(Q\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}(Q^\mathrm{T}AQ)\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}\varLambda\boldsymbol{y}

可以看到， $Q$ 为连接矩阵相似与二次型的桥梁。需要提醒的是，正交变换 $\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$ 下得到的 $\varLambda$ 的主对角线元素是 $A$ 的特征值。

而且，正交变换在几何上一个重要特点是它能够保持向量的长度，这是因为

\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{x}}=\sqrt{(Q\boldsymbol{y})^\mathrm{T}(Q\boldsymbol{y})}=\sqrt{\boldsymbol{y}^\mathrm{T}Q^\mathrm{T}Q\boldsymbol{y}}=\sqrt{\boldsymbol{y}^\mathrm{T}\boldsymbol{y}}=\|\boldsymbol{y}\|

（2）配方法对二次型

f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j

先找出一个系数不为零的平方项 $x_k^2$ ，把所有包含 $x_k$ 的项集中到一起，配成完全平方的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项 $x_l^2$ ，同样把所有包含 $x_l$ 的项集中到一起，配成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。

若二次型不含平方项，但 $a_{ij}\neq 0(i\neq j)$ ，则可先作可逆线性变换（坐标变换）

\begin{cases} x_i = y_i + y_j\\ x_j = y_i - y_j\\ x_k = y_k \;(k\neq i,j,\,k=1,2,\cdots,n) \end{cases}

化二次型为含平方项的二次型，再按上述配方法进行。

Tip

正交变换法与配方法的选择

正交变换法：适合需要“几何意义”或题目明确要求正交变换；得到的标准形系数是特征值，计算量通常较大（需先求特征值、特征向量并正交化）。
配方法：适合只需要判断惯性指数、正定性或合同性；计算量较小，且得到标准形系数不必是特征值，但必须保证变换可逆。
若题目问“是否合同”，本质上比较“秩 + 正惯性指数”，用配方法更快。
注意：配方法中若做了“先令 $x_i=y_i+y_j,\ x_j=y_i-y_j$ ”的变换，该变换矩阵是 $C=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ （相应分块），其行列式不为 0，因此是可逆线性变换。

惯性定理#

惯性定理：二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$ 对应的标准形中，平方项前正系数个数 $p$ 和负系数个数 $q$ 都是唯一确定的，称 $p$ 为二次型的正惯性指数， $q$ 为负惯性指数。

由惯性定理可以得到以下结论： (1) $p+q=r(A)$ ，即正负惯性指数之和与矩阵 $A$ 的秩相等； (2) 二次型的规范形是唯一确定的； (3) 设 $A,B$ 为同阶实对称矩阵，则 $A$ 与 $B$ 合同的充分必要条件为 $A,B$ 的秩和正惯性指数相同； (4) $n$ 个变量的两个不同的二次型合同 $\iff$ 规范形相同 $\iff$ 正、负惯性指数相等。

Important

规范形形式：(y_1^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_{p+q}^2)，系数只能是 (1,-1,0)；
实对称矩阵合同判定核心：秩相同且正惯性指数相同；
正交变换得到的标准形系数是特征值；配方法得到的标准形系数不一定是特征值，但正负惯性指数保持不变。

正定二次型#

若对任意非零实向量 $\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}$ ，有

f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}>0

则称 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 为正定二次型，它所对应的矩阵 $A$ 称为正定矩阵。

Note

拓展常用充要条件（复习配套）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则下述命题等价：

$A$ 是正定矩阵；
二次型 $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$ 正定；
$A$ 的正惯性指数 $p=n$ ；
$A$ 合同于单位矩阵 $E$ ；
存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $A=C^\mathrm{T}C$ ；
$A$ 的所有特征值全都大于 $0$ ；
$A$ 的各阶顺序主子式全都大于 $0$ （霍尔维茨定理）。

小提醒：正定矩阵一定是实对称矩阵；做题遇到正定矩阵，默认满足 $A^\mathrm{T}=A$ 。

正定二次型的判定#

二次型 $f(x_1,\cdots,x_n)=d_1x_1^2+\cdots+d_nx_n^2$ 是正定的充分必要条件为 $d_i(i=1,\cdots,n)$ 均大于零。

重要定理: 可逆线性变换不改变二次型的正定性

一个二次型通过坐标变换将其化为标准型，就容易判断正定性。

除此以外，判别二次型的正定性常常用以下几条充分必要条件：

$n$ 元实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A\boldsymbol{x}$ 正定 $\Leftrightarrow$

（1）正惯性指数 $p$ 等于 $n$

（2） $A$ 的特征值均大于零

（3）所有顺序主子式均大于零

（4） $A$ 与 $E$ 合同

（5）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $A=P^\mathrm{T}P$

由此衍生出正定矩阵 $A$ 的几个性质：若实对称矩阵 $A$ 正定，则

（1） $A$ 的主对角元 $a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n)$ ；

（2） $A$ 的行列式 $|A|>0$ ；

（3） $A^\mathrm{T},A^{-1},A^*,A^m$ （ $m$ 为正整数）均为正定矩阵；

（4） $A,B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，则 $A+B$ 也是正定矩阵，但 $AB$ 未必是正定矩阵。

易混概念速查#

概念	定义/关键	主要判定
矩阵等价	同型矩阵经初等变换互化	$r(A)=r(B)$
向量组等价	两向量组能互相线性表示	$r(I)=r(II)=r(I,II)$
矩阵相似	$P^{-1}AP=B$ ， $P$ 可逆	特征多项式相同、秩/迹/行列式相同（必要条件）；可对角化时看特征值及重数
矩阵合同	$C^\mathrm{T}AC=B$ ， $C$ 可逆	实对称矩阵：秩相同且正惯性指数相同
正交矩阵	$Q^\mathrm{T}Q=QQ^\mathrm{T}=E$	列（行）向量组是规范正交基

Tip

考场快速检查

证明 $AB=BA$ 有时可用“若 $A$ 可逆，则 $AB\sim BA$ ”；
看到实对称矩阵，优先想“正交对角化”“特征值全为实数”“不同特征值特征向量正交”；
看到二次型正定，优先用“顺序主子式全 $>0$ ”或“特征值全 $>0$ ”。

音乐

线性代数知识点串联

行列式#

定义#

性质#

计算#

常见行列式计算#

常用计算技巧#

矩阵#

定义#

运算#

转置矩阵及伴随矩阵#

转置矩阵运算律#

反对称矩阵#

伴随矩阵#

逆矩阵#

性质及重要公式#

初等变换#

初等变换#

性质及重要公式#

矩阵等价#

矩阵的秩#

线性方程组#

向量#

线性运算的性质#

内积与模#

向量内积定义#

向量内积的性质#

向量的模、单位向量#

向量的夹角、正交向量#

线性相关与线性无关#

判断线性相关性的常用结论#

极大线性无关组#

判断极大线性无关组#

向量组等价#

向量组等价的常用判据#

向量组等价的常用性质#

与矩阵等价的区分#

基础解系与解的结构#

基础解系#

通解#

非齐次线性方程组#

向量空间#

过渡矩阵#

基座标变换#

施密特正交化#

矩阵相似理论#

特征值与特征向量#

求解特征值与特征向量#

性质及重要结论#

秩为1的矩阵相关结论#

矩阵相似#

常用必要条件#

常用性质#

判断矩阵相似#

矩阵的相似对角化#

可相似对角化的条件#

一般求解步骤#

实对称矩阵相似对角化#

正交矩阵#

实对称矩阵的性质#

实对称矩阵正交对角化的一般步骤#

二次型#

可逆线性变换与矩阵合同#

可逆线性变换#

矩阵合同#

合同的性质#

二次型的标准型和规范型#

二次型化为标准型#

惯性定理#

正定二次型#

正定二次型的判定#

易混概念速查#

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